Каково выражение векторов ac, om, on и mn через m и n, которые являются единичными векторами направлений
Каково выражение векторов ac, om, on и mn через m и n, которые являются единичными векторами направлений оа во вравнобедренной трапеции oacb, где угол boa = 60 угловых градусов, и длины сторон ob, вс и ca равны 2m?
Pauk 19
Для того чтобы найти выражения векторов ac, om, on и mn через m и n, обратимся к геометрическим свойствам трапеции OACB.Вектор ac - это вектор, направленный от точки A до точки C. Для его выражения воспользуемся векторным равенством:
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC}\)
Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности:
- Вектор \(\overrightarrow{AO}\) - направлен от точки A до точки O. Так как m является единичным вектором направления OA, то можно записать:
\(\overrightarrow{AO} = m \cdot \overrightarrow{OA}\)
- Вектор \(\overrightarrow{OM}\) - направлен от точки O до точки M. Примем во внимание, что OM - это сторона прямоугольного треугольника AOM, а мы знаем, что угол BOA равен 60°. Поэтому, можно записать:
\(\overrightarrow{OM} = |\overrightarrow{OM}| \cdot \overrightarrow{OM"} = |\overrightarrow{OM}| \cdot \overrightarrow{OA"}\), где \(\overrightarrow{OA"}\) - это проекция вектора OA на сторону AB трапеции OACB.
Так как сторона OB равна стороне OC, а сторона AB равна стороне AC, то треугольники OAB и OAC являются равносторонними. Следовательно, \(\overrightarrow{OA"}\) будет равен m.
Таким образом, \(\overrightarrow{OM} = |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)
- Вектор \(\overrightarrow{MC}\) - направлен от точки M до точки C. Здесь важно заметить, что вектор MC будет противоположен вектору \(\overrightarrow{OM}\). То есть, можно записать:
\(\overrightarrow{MC} = - \overrightarrow{OM}\)
Подставим все полученные значения в исходное векторное равенство:
\(\overrightarrow{AC} = m \cdot \overrightarrow{OA} + |\overrightarrow{OM}| \cdot m - |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)
\(\overrightarrow{AC} = m \cdot (\overrightarrow{OA} - |\overrightarrow{OM}|) - |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)
Таким образом, выражение вектора AC через m и n будет:
\(\overrightarrow{AC} = m \cdot (\overrightarrow{OA} - |\overrightarrow{OM}|) - |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)
Теперь выразим оставшиеся векторы.
- Вектор om - это вектор, направленный от точки O до точки M. Мы уже вывели его выражение:
\(\overrightarrow{OM} = |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)
- Вектор on - это вектор, направленный от точки O до точки N. Рассмотрим треугольник OAN. Угол OAN равен углу BOA, то есть 60°. Обозначим сторону AN как \(l\). Тогда, можно записать:
\(\overrightarrow{ON} = l \cdot n\), где \(n\) - единичный вектор, параллельный стороне AB трапеции OACB.
- Вектор mn - это вектор, направленный от точки M до точки N. Мы уже знаем выражение для вектора OM. Запишем выражение для вектора MN:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}\)
\(\overrightarrow{MN} = l \cdot n - |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)
Таким образом, выражения для векторов ac, om, on и mn через m и n в требуемой трапеции будут:
\(\overrightarrow{AC} = m \cdot (\overrightarrow{OA} - |\overrightarrow{OM}|) - |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)
\(\overrightarrow{OM} = |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)
\(\overrightarrow{ON} = l \cdot n\)
\(\overrightarrow{MN} = l \cdot n - |\overrightarrow{OM}| \cdot m\)