Нужно доказать, что треугольник авс равнобедренный, при условии, что его вершины заданы точками а (2;0;3), в (0;1;2

Elizaveta

26

Чтобы доказать, что треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный, нам необходимо убедиться, что его боковые стороны \( AB \) и \( AC \) имеют одинаковую длину. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Расстояние между двумя точками \( P(x_1, y_1, z_1) \) и \( Q(x_2, y_2, z_2) \) можно найти с помощью формулы:

\[ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Используя эту формулу, мы можем найти длины сторон \( AB \), \( AC \) и \( BC \) треугольника \( \triangle ABC \).

Длина стороны \( AB \) равна:

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

Подставляя координаты точек \( A(2, 0, 3) \) и \( B(0, 1, 2) \) в эту формулу, мы получаем:

\[ AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 0)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \]

Аналогично, длина стороны \( AC \) равна:

\[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \]

Подставляя координаты точек \( A(2, 0, 3) \) и \( C(1, 2, 4) \) в эту формулу, мы получаем:

\[ AC = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]

Теперь мы можем сравнить длины сторон \( AB \) и \( AC \). Они оба равны \( \sqrt{6} \), следовательно, треугольник \( \triangle ABC \) является равнобедренным.

Чтобы найти длину средней линии треугольника, нужно найти среднее арифметическое длин боковых сторон \( AB \) и \( AC \).

Длина средней линии треугольника \( \triangle ABC \) равна:

\[ \text{Средняя линия} = \frac{{AB + AC}}{2} = \frac{{\sqrt{6} + \sqrt{6}}}{2} = \frac{{2\sqrt{6}}}{2} = \sqrt{6} \]

Таким образом, длина средней линии треугольника равна \( \sqrt{6} \).