Каково значение длины стороны AB прямоугольника ABCD, если биссектриса угла D пересекает сторону BC в точке N и делит

Лапуля

9

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства биссектрисы и периметра прямоугольника.

Из условия задачи известно, что биссектриса угла D пересекает сторону BC в точке N и делит ее в отношении 3:1 от вершины C. Обозначим длину отрезка NC как x, а длину отрезка BC как y.

Так как биссектриса делит сторону BC в отношении 3:1, то мы можем записать следующее: \(x:y = 3:1\).

По свойству биссектрисы, мы также знаем, что отношение длин другой пары сторон прямоугольника должно быть таким же. То есть, отношение длин отрезков AB и AD должно быть равно \(x:y = 3:1\).

Зная эти отношения длин сторон прямоугольника, мы можем записать уравнения:
\[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{x}}{{y}} = \frac{{3}}{{1}}\]

Так как периметр прямоугольника равен 70 см, мы можем записать уравнение для периметра:
\[2(AB + AD) = 70\]

Объединим оба уравнения и решим систему уравнений методом подстановки:

\[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{3}}{{1}} \rightarrow AB = 3AD\]

Заменим AB в уравнении для периметра:
\[2(3AD + AD) = 70\]
\[2(4AD) = 70\]
\[8AD = 70\]
\[AD = \frac{{70}}{{8}} = 8.75\]

Теперь, найдя значение AD, мы можем найти значение AB, подставив найденное значение в уравнение:
\[AB = 3AD = 3 \times 8.75 = 26.25\]

Итак, длина стороны AB прямоугольника ABCD составляет 26.25 см.

Пояснение решения: Мы использовали свойства биссектрисы, которая делит сторону BC в отношении 3:1, чтобы получить отношение длин сторон прямоугольника ABCD. Затем мы использовали периметр прямоугольника для построения уравнения и решили систему уравнений для нахождения значений сторон AD и AB. В результате мы получили, что длина стороны AB равна 26.25 см.