Каково значение энтропии при выборе двух шаров из урны, содержащей два белых и один черный шар?

Veronika_1098

31

Хорошо, я могу помочь вам с задачей о значении энтропии при выборе двух шаров из урны.

Для начала, давайте определим, что такое энтропия. В терминах статистики и теории информации, энтропия представляет собой меру неопределенности или хаоса в системе. Чем больше количество возможных состояний системы, тем выше ее энтропия. Теперь давайте решим задачу конкретно.

У нас есть урна с двумя белыми и одним черным шаром. Всего в урне три шара. Давайте рассмотрим все возможные комбинации выбора двух шаров из этой урны:

1. Первый шар - белый, второй шар - белый.
2. Первый шар - белый, второй шар - черный.
3. Первый шар - черный, второй шар - белый.

Обратите внимание, что выбрав оба белых шара, мы получим одну комбинацию, файл тем временем, при выборе комбинации сочетания белого и черного шаров, мы получим две комбинации.

Теперь рассмотрим вероятности каждой комбинации:

1. Вероятность выбрать первый белый шар: \(P(\text{белый}) = \frac{2}{3}\)
Вероятность выбрать второй белый шар: \(P(\text{белый}) = \frac{1}{2}\)
Вероятность обоих белых шаров: \(P(\text{белый, белый}) = P(\text{белый}) \times P(\text{белый}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

2. Вероятность выбрать первый белый шар: \(P(\text{белый}) = \frac{2}{3}\)
Вероятность выбрать черный шар: \(P(\text{черный}) = \frac{1}{3}\)
Вероятность комбинации белого и черного шаров: \(P(\text{белый, черный}) = P(\text{белый}) \times P(\text{черный}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}\)

3. Вероятность выбрать первый черный шар: \(P(\text{черный}) = \frac{1}{3}\)
Вероятность выбрать второй белый шар: \(P(\text{белый}) = \frac{2}{2} = 1\) (после выбора черного шара, в урне остается только один белый шар)
Вероятность комбинации черного и белого шаров: \(P(\text{черный, белый}) = P(\text{черный}) \times P(\text{белый}) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}\)

Теперь мы можем вычислить энтропию системы, используя формулу энтропии:

\[H = -\sum_{i} P(i) \log_{2} P(i)\]

где \(P(i)\) - вероятность i-го события.

В нашем случае, энтропия системы равна:

\[
H = -\left(P(\text{белый, белый}) \log_{2} P(\text{белый, белый}) + P(\text{белый, черный}) \log_{2} P(\text{белый, черный}) + P(\text{черный, белый}) \log_{2} P(\text{черный, белый})\right)
\]

\[
H = -\left(\frac{1}{3} \log_{2} \frac{1}{3} + \frac{2}{9} \log_{2} \frac{2}{9} + \frac{1}{3} \log_{2} \frac{1}{3}\right)
\]

\[
H \approx 1.585
\]

Таким образом, значение энтропии при выборе двух шаров из данной урны равно примерно 1.585.

Надеюсь, этот пошаговый ответ помог вам понять, как решить данную задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.