Каково значение каждой из тригонометрических функций в следующих случаях: 1. кос a=1/5 и 0 < a < π/2 ; 2. син a=1/2

Svetlyy_Angel

66

Конечно, я могу помочь решить эту задачу! Давайте разберемся с каждым случаем по отдельности.

1. Для первого случая, когда косинус \(a\) равен \(\frac{1}{5}\) и \(0 < a < \frac{\pi}{2}\), нам нужно найти значения остальных тригонометрических функций.
Прежде всего, давайте найдем значение синуса \(a\):
Используя соотношение между синусом и косинусом, мы можем записать:
\[\sin^2 a + \cos^2 a = 1\]
Подставим значение косинуса:
\[\sin^2 a + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1\]
\[\sin^2 a + \frac{1}{25} = 1\]
\[\sin^2 a = 1 - \frac{1}{25}\]
\[\sin^2 a = \frac{24}{25}\]
Найдем значение синуса \(a\) как положительный корень из этого уравнения:
\[\sin a = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\]

Теперь давайте найдём значение тангенса \(a\):
Используя определение тангенса \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\), мы можем вычислить:
\[\tan a = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}} = 2\sqrt{6}\]

Наконец, найдем значение котангенса \(a\):
Котангенс является обратным значением тангенса:
\[\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}\]

Таким образом, для первого случая значения тригонометрических функций:
\(\cos a = \frac{1}{5}\), \(\sin a = \frac{2\sqrt{6}}{5}\), \(\tan a = 2\sqrt{6}\), \(\cot a = \frac{\sqrt{6}}{12}\).

2. Теперь рассмотрим второй случай, когда синус \(a\) равен \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\).
Аналогично первому случаю, мы сначала найдем значение косинуса \(a\).
Для этого воспользуемся тождеством \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\):
\[\sin^2 a + \cos^2 a = 1\]
\[\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 a = 1\]
\[\frac{1}{4} + \cos^2 a = 1\]
\[\cos^2 a = 1 - \frac{1}{4}\]
\[\cos^2 a = \frac{3}{4}\]
Найдем значение косинуса \(a\) как положительный корень из этого уравнения:
\[\cos a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь найдем значение тангенса \(a\):
Используя определение тангенса \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\), получим:
\[\tan a = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

И, наконец, найдем значение котангенса \(a\):
Котангенс является обратным значением тангенса:
\[\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

Итак, для второго случая значения тригонометрических функций таковы:
\(\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin a = \frac{1}{2}\), \(\tan a = \frac{\sqrt{3}}{3}\), \(\cot a = \sqrt{3}\).

Надеюсь, этот развернутый ответ помог вам понять значения каждой из тригонометрических функций в данных случаях. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать!