Каково значение косинуса острого угла A в треугольнике ABC, если синус этого угла равен 105/145? Варианты ответов

Скорпион

27

Для начала, нам необходимо использовать тригонометрический аспект треугольника ABC. Для этого мы воспользуемся трассировкой соответствующих противолежащих и гипотенузной сторон треугольника используя основные соотношения синуса и косинуса.

Обозначим катет, противолежащий углу A, как b, и гипотенузу, как c. Тогда по определению:

\[\sin A = \frac{b}{c} = \frac{105}{145}\]

Теперь нам нужно найти значение косинуса угла A. Мы знаем, что косинус является отношением прилежащего катета к гипотенузе, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти прилежащую сторону.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b выполняется соотношение:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Мы знаем значение синуса угла A, поэтому мы можем выразить противолежащий катет b через гипотенузу c:

\[b = \sin A \cdot c\]

Подставляя это в теорему Пифагора, получаем:

\[a^2 + (\sin A \cdot c)^2 = c^2\]

Раскрываем скобки:

\[a^2 + \sin^2 A \cdot c^2 = c^2\]

Вычитаем c^2 из обеих сторон:

\[a^2 = c^2 - \sin^2 A \cdot c^2\]

\[a^2 = c^2(1 - \sin^2 A)\]

При этом мы знаем, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), следовательно \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\). Подставляем это значение:

\[a^2 = c^2 \cos^2 A\]

Теперь можем вычислить значение косинуса угла A:

\[\cos A = \sqrt{\frac{a^2}{c^2}}\]

\[= \frac{a}{c}\]

\[= \frac{\sqrt{c^2 \cos^2 A}}{c}\]

\[= \frac{c \cos A}{c}\]

Замечаем, что c сокращается:

\[\cos A = \cos A\]

Таким образом, значение косинуса угла A в треугольнике ABC равно \(1\).

Надеюсь, этот детальный и пошаговый ответ помог вам понять, как найти значение косинуса острого угла A в треугольнике ABC при заданном синусе.