Каково значение косинуса угла ∡ t в треугольнике ptc, если известны координаты вершин треугольника: p(1; 0; -2

Барон_28

62

Чтобы найти значение косинуса угла ∡ t в треугольнике PTC, мы можем воспользоваться формулой косинуса для нахождения косинуса угла по координатам вершин треугольника.

Формула косинуса гласит:

\[ \cos(\theta) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}} \]

Где \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\) - это векторы, направленные от вершины t к вершинам p и c соответственно. \(|\mathbf{AB}|\) и \(|\mathbf{AC}|\) - длины этих векторов.

Давайте начнем с нахождения векторов \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\):

\(\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A}\)

\[ \mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \]

\(\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A}\)

\[ \mathbf{AC} = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix} \]

Теперь мы можем найти длины векторов \(|\mathbf{AB}|\) и \(|\mathbf{AC}|\):

\( |\mathbf{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\mathbf{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \)

Теперь мы можем найти косинус угла \( \theta \):

\[ \cos(\theta) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{{(-1)(-4) + 2(-4) + 2 \cdot 4}}{{3 \cdot 4\sqrt{3}}} = \frac{{4 + 8 + 8}}{{3 \cdot 4\sqrt{3}}} = \frac{{20}}{{12\sqrt{3}}} = \frac{{5}}{{3\sqrt{3}}} \]

Таким образом, значение косинуса угла \( \theta \), или в угла ∡ t, в треугольнике PTC равно \( \frac{{5}}{{3\sqrt{3}}} \).