Каково значение n в правильном многоугольнике, в котором проведено 136 диагоналей? 16

Космическая_Звезда

40

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать некоторые свойства правильных многоугольников.

Правильный \(n\)-угольник имеет \(n\) сторон и \(n\) углов, причем все стороны равны и все углы равны. Также из каждой вершины этого многоугольника можно провести диагонали к остальным вершинам, образуя \(n\) треугольников.

Найдем формулу для количества диагоналей в правильном многоугольнике. Из каждой вершины можно провести диагонали к остальным \((n-3)\) вершинам (потому что уже соединены соседние вершины и вершина, из которой проводим диагонали). Таким образом, общее количество диагоналей в правильном \(n\)-угольнике можно вычислить по формуле:

\[\text{Общее количество диагоналей} = \frac{n\cdot(n-3)}{2}\]

Теперь решим уравнение:

\[\frac{n\cdot(n-3)}{2} = 136\]

Умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[n\cdot(n-3) = 272\]

Раскроем скобки:

\[n^2 - 3n = 272\]

Получили квадратное уравнение. Перенесем все в одну сторону и приведем его к виду:

\[n^2 - 3n - 272 = 0\]

Мы можем попробовать решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или используя квадратную формулу:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = -272\). Рассчитаем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-272) = 9 + 1088 = 1097\]

Теперь подставим значения в квадратную формулу:

\[n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1097}}{2(1)}\]

\[n = \frac{3 \pm \sqrt{1097}}{2}\]

Таким образом, получаем два решения:

\[n_1 = \frac{3 + \sqrt{1097}}{2}\]
\[n_2 = \frac{3 - \sqrt{1097}}{2}\]

Но так как мы говорим о многоугольнике, необходимо выбрать только положительное целочисленное значение \(n\). Подставив числа в калькулятор, мы видим, что ближайшие целые значения для \(n_1\) и \(n_2\) равны 24 и -21 соответственно. Очевидно, что количество сторон \(n\) не может быть отрицательным, поэтому единственным решением будет:

\[n = 24\]

Таким образом, значение \(n\) в правильном многоугольнике, в котором проведено 136 диагоналей, равно 24.