Какие значения x удовлетворяют уравнению tgx=3 в интервале (-3π/2;3π/2)?

Arbuz

43

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Мы должны найти значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению \(\tan(x) = 3\) в интервале \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\).

1. Уравнение \(\tan(x) = 3\) можно переписать как \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 3\). Так как \(\tan(x)\) равно отношению синуса косинуса, мы можем записать это новое уравнение.

2. Чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие уравнению, нам нужно решить \(\sin(x) = 3\cos(x)\). Мы будем решать это уравнение использованием тригонометрической идентичности.

3. Разделим обе стороны уравнения на \(\cos(x)\) и получим \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{3\cos(x)}{\cos(x)}\). Теперь мы можем сократить \(\cos(x)\) с обеих сторон, получая \(\tan(x) = 3\).

4. Поскольку мы ищем значения \(x\) в интервале \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\), мы можем использовать график функции \(\tan(x)\), чтобы исследовать, в каких точках она достигает значения 3.

5. На графике мы видим, что \(\tan(x)\) равно 3 в двух местах на интервале \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\). Одно из них находится примерно в \(x \approx 0.982\) и другое примерно в \(x \approx -1.160\).

6. Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(\tan(x) = 3\) в интервале \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\) - это около \(x \approx 0.982\) и \(x \approx -1.160\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы пришли к этим значениям. Если у вас еще остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!