Как решить неравенство (6*5^x-11)/(25^(x+0.5)-6*5^x+1)≥0.25?

Святослав

2

Хорошо, давайте посмотрим, как решить данное неравенство. Для начала, давайте приведем его к более удобному виду для анализа. Домножим обе части неравенства на знаменатель, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

\[(6 \cdot 5^x - 11) \geq 0.25 \cdot (25^{x+0.5} - 6 \cdot 5^x + 1)\]

Теперь раскроем скобки в правой части:

\[6 \cdot 5^x - 11 \geq 0.25 \cdot 25^{x+0.5} - 0.25 \cdot 6 \cdot 5^x + 0.25\]

Упростим полученное выражение:

\[6 \cdot 5^x - 11 \geq 6.25 \cdot 5^x \cdot 5^{-0.5} - 1.5 \cdot 5^x + 0.25\]

Для удобства, заменим \(5^x\) на переменную \(u\):

\[6u - 11 \geq 6.25u \cdot 5^{-0.5} - 1.5u + 0.25\]

Теперь перенесем все слагаемые с \(u\) на одну сторону неравенства:

\[0.25u - 11 \geq 6.25u \cdot 5^{-0.5} - 1.5u\]

Дальше, сложим \(1.5u\) к обеим частям уравнения:

\[0.25u + 1.5u - 11 \geq 6.25u \cdot 5^{-0.5}\]

\(1.75u - 11 \geq 6.25u \cdot 5^{-0.5}\)

Теперь умножим обе части неравенства на \(\frac{1}{1.75}\), чтобы получить коэффициент \(u\) перед \(5^{-0.5}\) равным 1:

\[u - \frac{11}{1.75} \geq 3.5714u \cdot 5^{-0.5}\]

Так как у нас \(5^{-0.5}\) находится в знаменателе, мы можем избавиться от него, возвести обе части неравенства в квадрат:

\[(u - \frac{11}{1.75})^2 \geq (3.5714u)^2\]

\[u^2 - 2u \cdot \frac{11}{1.75} + (\frac{11}{1.75})^2 \geq 12.80918u^2\]

\[u^2 - \frac{22u}{1.75} + \frac{121}{1.75^2} \geq 12.80918u^2\]

\[u^2 - \frac{22u}{1.75} + \frac{121}{3.0625} \geq 12.80918u^2\]

\[u^2 - \frac{22u}{1.75} + \frac{39.296}{3.0625} \geq u^2\]

\[u^2 - \frac{22u}{1.75} + 12.80274 \geq u^2\]

Теперь у нас есть уравнение вида \(au^2 + bu + c \geq 0\), где \(a = 1\), \(b = -\frac{22}{1.75}\), и \(c = 12.80274\).

Находим дискриминант данного уравнения:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-\frac{22}{1.75})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12.80274\]
\[D = 484 - 4 \cdot 12.80274\]
\[D = 484 - 51.21096\]
\[D = 432.78904\]

Поскольку дискриминант \(D\) положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня. Теперь найдем эти корни, решив уравнение:

\[u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[u = \frac{-(-\frac{22}{1.75}) \pm \sqrt{432.78904}}{2 \cdot 1}\]
\[u = \frac{\frac{22}{1.75} \pm \sqrt{432.78904}}{2}\]
\[u = \frac{22}{1.75} \pm \frac{\sqrt{432.78904}}{2}\]

Таким образом, мы получили два значения \(u\). Чтобы найти значения \(x\), вернемся к начальному представлению переменных и подставим найденные значения \(u\) вместо \(5^x\):

\[5^x = \frac{22}{1.75} \pm \frac{\sqrt{432.78904}}{2}\]

Теперь найдем значения \(x\) с помощью логарифма:

\[x = \log_{5}(\frac{22}{1.75} \pm \frac{\sqrt{432.78904}}{2})\]

Округлим полученные значения \(x\) до нужной точности и получим ответ. Помните, что результат может содержать два значения \(x\) в зависимости от знака в предыдущем уравнении.