Каково значение производной функции F(x) = 51n x - 4 корень x + 8 в точке х0 = 0.25?

Zayka

18

Хорошо, давайте решим задачу. Нам дана функция \(F(x) = 51\ln{x} - 4\sqrt{x} + 8\) и нам нужно найти значение производной этой функции в точке \(x_0 = 0.25\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(F(x)\).
Для этого мы возьмем производные каждого отдельного слагаемого и сложим их. Используя правило дифференцирования функций, получаем:

\[
\frac{d}{dx}(51\ln{x}) = 51 \cdot \frac{1}{x}
\]

\[
\frac{d}{dx}(-4\sqrt{x}) = -2\sqrt{x}
\]

\[
\frac{d}{dx}(8) = 0
\]

Шаг 2: Заменим \(x\) на \(x_0 = 0.25\) в каждом слагаемом.

\[
\frac{d}{dx} (51\ln{x}) \Bigg|_{x=0.25} = 51 \cdot \frac{1}{0.25} = 51 \cdot 4 = 204
\]

\[
\frac{d}{dx} (-4\sqrt{x}) \Bigg|_{x=0.25} = -2\sqrt{0.25} = -2 \cdot 0.5 = -1
\]

\[
\frac{d}{dx} (8) \Bigg|_{x=0.25} = 0
\]

Шаг 3: Сложим полученные значения производных:

\[
F"(x_0) = 204 + (-1) + 0 = 203
\]

Поэтому, значение производной функции \(F(x)\) в точке \(x_0 = 0.25\) равно 203.