1) Является ли треугольник ΔAВС прямоугольным, если известны его вершины: А с координатами (-1; 5; 3), В с координатами

Myshka

59

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы узнать, является ли треугольник ΔABC прямоугольным, нам нужно проверить, соответствуют ли его стороны условию теоремы Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Для начала, мы должны вычислить длины всех сторон треугольника ΔABC. Это можно сделать с помощью формулы для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Таким образом, длина стороны AB равна:

\[d_{AB} = \sqrt{{((-1) - (-1))^2 + ((-3) - 5)^2 + (9 - 3)^2}}\]

Вычисляя значение, получаем:

\[d_{AB} = \sqrt{{0 + (-8)^2 + 6^2}} = \sqrt{{0 + 64 + 36}} = \sqrt{{100}} = 10\]

Аналогичным образом, мы можем вычислить длины сторон BC и AC:

\[d_{BC} = \sqrt{{((-1) - 3)^2 + ((-3) - (-2))^2 + (9 - 6)^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \sqrt{{16 + 1 + 9}} = \sqrt{{26}}\]

\[d_{AC} = \sqrt{{((-1) - 3)^2 + ((-3) - 5))^2 + (9 - 3)^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + (-8)^2 + 6^2}} = \sqrt{{16 + 64 + 36}} = \sqrt{{116}}\]

Теперь мы можем проверить выполнение теоремы Пифагора для треугольника ΔABC. Если сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату самой большой стороны, то треугольник является прямоугольным.

В данном случае, наибольшей стороной является сторона AB длиной 10. Проверим:

\[d_{BC}^2 + d_{AC}^2 = (\sqrt{{26}})^2 + (\sqrt{{116}})^2 = 26 + 116 = 142\]

Квадрат длины стороны AB:

\[d_{AB}^2 = 10^2 = 100\]

Так как 142 не равно 100, мы можем сделать вывод, что треугольник ΔABC не является прямоугольным.

Перейдем к второй задаче.

2) Для определения координат вершин треугольника ΔABC, мы можем использовать известные координаты середин сторон AB, BC и AC, а также свойства серединных перпендикуляров и треугольника.

Сначала рассмотрим сторону AB. Мы знаем, что М - середина стороны AB, поэтому координаты точки M равны среднему значениям координат вершин A и B:

\[x_M = \frac{{x_A + x_B}}{2} = \frac{{(-1) + (-1)}}{2} = -1\]
\[y_M = \frac{{y_A + y_B}}{2} = \frac{{5 + (-3)}}{2} = 1\]
\[z_M = \frac{{z_A + z_B}}{2} = \frac{{3 + 9}}{2} = 6\]

Таким образом, координаты точки M равны (-1, 1, 6).

Аналогичным образом, находим координаты точек N и K:

\[x_N = \frac{{x_B + x_C}}{2} = \frac{{(-1) + 3}}{2} = 1\]
\[y_N = \frac{{y_B + y_C}}{2} = \frac{{-3 + (-2)}}{2} = -2.5\]
\[z_N = \frac{{z_B + z_C}}{2} = \frac{{9 + 6}}{2} = 7.5\]

Координаты точки N равны (1, -2.5, 7.5).

\[x_K = \frac{{x_A + x_C}}{2} = \frac{{(-1) + 3}}{2} = 1\]
\[y_K = \frac{{y_A + y_C}}{2} = \frac{{5 + (-2)}}{2} = 1.5\]
\[z_K = \frac{{z_A + z_C}}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = 4.5\]

Координаты точки K равны (1, 1.5, 4.5).

Теперь у нас есть координаты трех точек - M, N и К, которые являются серединами сторон треугольника ΔABC. Мы можем объединить эти точки и получить координаты вершин треугольника.

Вершина A имеет координаты, равные удвоенным значениям координат точки K:

\[x_A = 2x_K = 2 \cdot 1 = 2\]
\[y_A = 2y_K = 2 \cdot 1.5 = 3\]
\[z_A = 2z_K = 2 \cdot 4.5 = 9\]

Таким образом, координаты вершины A равны (2, 3, 9).

Аналогично, найдем координаты вершины B, используя координаты точки M:

\[x_B = 2x_M = 2 \cdot (-1) = -2\]
\[y_B = 2y_M = 2 \cdot 1 = 2\]
\[z_B = 2z_M = 2 \cdot 6 = 12\]

Координаты вершины B равны (-2, 2, 12).

И, наконец, для нахождения координат вершины C, используем координаты точки N:

\[x_C = 2x_N = 2 \cdot 1 = 2\]
\[y_C = 2y_N = 2 \cdot (-2.5) = -5\]
\[z_C = 2z_N = 2 \cdot 7.5 = 15\]

Координаты вершины C равны (2, -5, 15).

Таким образом, координаты вершин треугольника ΔABC равны A(2, 3, 9), B(-2, 2, 12) и C(2, -5, 15).

Надеюсь, эти решения помогут вам понять задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.