Каково значение тангенса (-п/4) и синуса (-37п/6), не используя таблицы и калькуляторы?

Святослав_1102

8

Чтобы найти значение тангенса \(-\frac{\pi}{4}\) и синуса \(-\frac{37\pi}{6}\) без использования таблиц или калькуляторов, давайте вспомним некоторые свойства этих функций и применим их для наших заданных углов.

1. Значение тангенса \(-\frac{\pi}{4}\):
Тангенс угла можно выразить как отношение синуса к косинусу этого угла. Мы знаем, что значение тангенса \(\theta\) равно \(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\).

В данном случае, мы ищем значение тангенса для угла \(-\frac{\pi}{4}\). Если мы немного подумаем об угле \(-\frac{\pi}{4}\), то обратим внимание на то, что он находится в третьем квадранте на координатной плоскости.
В третьем квадранте синус отрицателен, а косинус положителен. Значит, \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) > 0\) и \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) < 0\).

Теперь давайте найдем численные значения для \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\) и \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\):
\(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставим эти значения в формулу для тангенса и найдем итоговый ответ:
\(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1\)

Итак, значение тангенса \(-\frac{\pi}{4}\) равно -1.

2. Значение синуса \(-\frac{37\pi}{6}\):
Для нахождения значения синуса угла \(-\frac{37\pi}{6}\), мы можем использовать периодичность синуса. Значение синуса повторяется каждые \(2\pi\) радиан, поэтому мы можем убрать полные обороты из угла и найти значение синуса для угла \(-\frac{\pi}{6}\).

Если мы посмотрим на угол \(-\frac{\pi}{6}\), то увидим, что он находится в четвертом квадранте на координатной плоскости.
В четвертом квадранте и синус, и косинус отрицательны. То есть \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) < 0\) и \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) < 0\).

Снова найдем численные значения для \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) и \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\):
\(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\)

Теперь можем подставить эти значения и найти итоговый ответ:
\(\sin\left(-\frac{37\pi}{6}\right) = \sin\left(-6\frac{\pi}{6}-1\frac{\pi}{6}\right)\\
= \sin(-6\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, значение синуса \(-\frac{37\pi}{6}\) равно \(-\frac{1}{2}\).