Каково значение tg2x, если известно, что tgx=21?

Лиса

60

Очень хорошо! Чтобы решить эту задачу, мы начнем с использования определения тангенса.

Тангенс угла определяется как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне в прямоугольном треугольнике. В данном случае, tgx = 21, что означает, что отношение противоположной стороны к прилежащей стороне равно 21.

Мы можем использовать тригонометрическую теорему Пифагора, чтобы найти значение гипотенузы прямоугольного треугольника. Давайте обозначим противоположую сторону x, и прилежащую сторону y.

Согласно теореме Пифагора:
\[x^2 + y^2 = h^2\],
где h - гипотенуза треугольника.

Мы знаем, что tgx = \(\frac{x}{y} = 21\), значит \(x = 21y\).

Мы можем вставить это значение в уравнение Пифагора:
\[(21y)^2 + y^2 = h^2\].

Раскрываем скобки:
\[441y^2 + y^2 = h^2\].

Складываем подобные члены:
\[442y^2 = h^2\].

Теперь мы можем найти значение гипотенузы, возводя обе стороны уравнения в квадратный корень:
\[h = \sqrt{442y^2}\].

Так как мы ищем значение tg2x, то нам нужно посчитать tg2x.

Используя формулу двойного аргумента, мы имеем:
\[tg2x = \frac{2tgx}{1 - tg^2x}\].

Подставим значение tgx = 21:
\[tg2x = \frac{2 \cdot 21}{1 - 21^2}\].

Вычисляем значение в числовых пределах:
\[tg2x = \frac{42}{1 - 441}\].

\[tg2x = \frac{42}{-440}\].

Упрощаем дробь:
\[tg2x = -\frac{21}{220}\].

Итак, значение tg2x равно -\(\frac{21}{220}\).