Каково значение выражения (80 у² + 4 у + 4)/(у² - 4), если у = (8 у + 16)/(у² - 2у)?

Radusha

38

Чтобы найти значение данного выражения, мы сначала рассчитаем значение переменной \(у\), используя второе выражение, а затем подставим его в первое выражение и упростим.

Дано второе выражение: \(у = \frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\)

Для начала, давайте решим числитель данной дроби:

\(8у + 16\)

Теперь решим знаменатель данной дроби:

\(у^2 - 2у\)

Теперь мы можем записать \(у\) в виде:

\(у = \frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\)

Заметим, что знаменатель второго выражения также является знаменателем первого выражения. Поэтому мы можем записать первое выражение, используя найденное значение \(у\):

\(\frac{80у^2 + 4у + 4}{у^2 - 4}\)

Теперь подставляем \(у\) вместо его значения:

\(\frac{80\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right)^2 + 4\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right) + 4}{\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right)^2 - 4}\)

Далее упростим выражение, возводя в квадрат и выполним соответствующие арифметические операции:

\(\frac{80\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right)^2 + 4\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right) + 4}{\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right)^2 - 4}\)

\(\frac{80\left(\frac{8(8у + 16)}{(у^2 - 2у)^2}\right) + 4\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right) + 4}{\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right)^2 - 4}\)

\(\frac{80\frac{64у + 128}{(у^2 - 2у)^2} + 4\frac{8у + 16}{у^2 - 2у} + 4}{\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right)^2 - 4}\)

Теперь упростим знаменатель:

\(\left(\frac{8у + 16}{у^2 - 2у}\right)^2 - 4\)

\(\frac{(8у + 16)^2}{(у^2 - 2у)^2} - 4\)

\(\frac{64у^2 + 256у + 256}{у^4 - 4у^3 + 4у^2} - 4\)

\(\frac{64у^2 + 256у + 256 - 4у^4 + 16у^3 - 16у^2}{у^4 - 4у^3 + 4у^2} - 4\)

\(\frac{-4у^4 + 16у^3 + 48у^2 + 256у + 256}{у^4 - 4у^3 + 4у^2} - 4\)

Теперь подставляем полученное выражение в числитель:

\(\frac{80\frac{64у + 128}{(у^2 - 2у)^2} + 4\frac{8у + 16}{у^2 - 2у} + 4}{\frac{-4у^4 + 16у^3 + 48у^2 + 256у + 256}{у^4 - 4у^3 + 4у^2}} - 4\)

\(\frac{80\frac{64у + 128}{(у^2 - 2у)^2} + 4\frac{8у + 16}{у^2 - 2у} + 4}{\frac{-4у^4 + 16у^3 + 48у^2 + 256у + 256}{у^4 - 4у^3 + 4у^2}} - 4\)

\(\frac{320у(у + 2) + 16(у + 2)}{4у^4 - 16у^3 + 16у^2} - 4\)

\(\frac{320у^2 + 640у + 16у + 32}{4у^4 - 16у^3 + 16у^2} - 4\)

\(\frac{320у^2 + 656у + 32}{4у^4 - 16у^3 + 16у^2} - 4\)

Теперь можем упростить:

\(\frac{8у^2 + 41у + 2}{у^4 - 4у^3 + 4у^2} - 4\)

Таким образом, значение данного выражения равно \(\frac{8у^2 + 41у + 2}{у^4 - 4у^3 + 4у^2} - 4\).