Каково значение выражения (логарифм по основанию 3 от 3a) / (логарифм по основанию 3 от a) при условии, что значение

Эльф

50

Для того чтобы решить данную задачу, мы должны использовать свойства логарифмов и алгебруические преобразования.

Итак, пусть \(x\) будет значением выражения \(\frac{\log_3{(3a)}}{\log_3{(a)}}\).

Мы знаем, что \(\log_b{(a)}\) представляет собой число \(x\), которое удовлетворяет равенству \(b^x = a\).

Используя это свойство, можно записать следующие равенства:

\[\log_3{(3a)} = x \quad \text{(1)}\]
\[\log_3{(a)} = \frac{{\log_3{(3a)}}}{x} \quad \text{(2)}\]

Теперь мы можем подставить значение \(x\) в (2), так как нам дано, что \(\frac{{\log_3{(3a)}}}{{\log_3{(a)}}} = 8.5\).

Подставляя \(x = 8.5\) в (2), получим:

\[\log_3{(a)} = \frac{{\log_3{(3a)}}}{8.5} \quad \text{(3)}\]

После этого мы можем возвести оба выражения (1) и (3) в степень 3, используя свойство \(\log_b{(a)} = x\) эквивалентно \(b^x = a\).

\[\left(3^{\log_3{(3a)}}\right)^3 = \left(\frac{{\log_3{(3a)}}}{8.5}\right)^3\]

Упрощая, получим:

\[3^{3\log_3{(3a)}} = \left(\frac{{\log_3{(3a)}}}{8.5}\right)^3\]

Упрощая степень, получим:

\[(3^{\log_3{(3a)}})^3 = \left(\frac{{\log_3{(3a)}}}{8.5}\right)^3\]

Так как \((3^{\log_3{(3a)}})^3 = (3a)^3\), и \(\left(\frac{{\log_3{(3a)}}}{8.5}\right)^3 = 8.5^3\), мы можем записать:

\[(3a)^3 = 8.5^3\]

Следовательно,

\[27a^3 = 614.125\]

Для нахождения значения \(a\) возведем обе стороны в степень \(\frac13\):

\[a^3 = \frac{{614.125}}{{27}}\]

Теперь возьмем кубический корень от обеих сторон:

\[a = \sqrt[3]{\frac{{614.125}}{{27}}}\]

Округляя до ближайшего числа, получим:

\[a \approx 4.5\]

Таким образом, значение выражения \(\frac{\log_3{(3a)}}{\log_3{(a)}}\) при условии, что оно равно 8.5, есть примерно 4.5.