Каковы амплитуда скорости и смещение груза из равновесного состояния в момент времени t=T/4 для колебаний пружинного

Antonovna

39

Для решения этой задачи нам нужно использовать уравнение, задающее колебания пружинного маятника: \( x(t) = A \sin(\omega t + \phi) \).

В данном случае, у нас есть уравнение \( x(t) = 0.05\sin(10\pi t+ \frac{\pi}{4}) \), где \( A = 0.05 \), \( \omega = 10\pi \), а \( \phi = \frac{\pi}{4} \).

Первая часть задачи состоит в определении амплитуды скорости маятника в момент времени \( t = \frac{T}{4} \). Для этого нам потребуется производная функции \( x(t) \) по времени, чтобы получить выражение для скорости маятника.

Давайте найдем производную:
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 0.05 \cdot 10\pi \cos(10\pi t + \frac{\pi}{4}) \]

Теперь мы можем подставить \( t = \frac{T}{4} \) в выражение для скорости:
\[ v(\frac{T}{4}) = 0.05 \cdot 10\pi \cos(10\pi \cdot \frac{T}{4} + \frac{\pi}{4}) \]

Рассчитаем это значение теперь:

\[ v(\frac{T}{4}) = 0.05 \cdot 10\pi \cos(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}) \]

Таким образом, амплитуда скорости маятника в момент времени \( t=\frac{T}{4} \) равна \( 0.05 \cdot 10\pi \).

Теперь давайте перейдем ко второй части задачи, где нам нужно найти смещение груза из равновесного состояния в момент времени \( t = \frac{T}{4} \).

Смещение можно найти просто подставив значение \( t = \frac{T}{4} \) в уравнение колебаний:
\[ x(\frac{T}{4}) = 0.05\sin(10\pi \cdot \frac{T}{4} + \frac{\pi}{4}) \]

Упрощая это выражение, получаем:
\[ x(\frac{T}{4}) = 0.05\sin(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}) \]

Таким образом, смещение груза от равновесного положения в момент времени \( t = \frac{T}{4} \) равно \( 0.05\sin(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}) \).

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как рассчитать амплитуду скорости и смещение груза для данного пружинного маятника в момент времени \( t = \frac{T}{4} \).