1. Через какое время количество радиоактивных ядер уменьшится в 8 раз для радиоактивного изотопа рн (222 вверху

Vladimir

65

1. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для периода полураспада радиоактивного изотопа. Период полураспада обозначает время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза. У нас дано, что период полураспада для изотопа Рн-222 составляет 3,825 суток.

Чтобы найти время, через которое количество радиоактивных ядер уменьшится в 8 раз, мы можем воспользоваться следующей формулой:

$$N=N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$$

Где:
- N - количество радиоактивных ядер после времени t
- $N_0$ - начальное количество радиоактивных ядер
- t - время, через которое количество ядер будет уменьшено в 8 раз
- T - период полураспада

Мы знаем, что мы хотим найти t, когда N будет в 8 раз меньше, чем $N_0$. То есть:

$$N=\frac{1}{8}{N}_0$$

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$$\frac{1}{8}{N}_0=N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$$

Для решения этого уравнения нам нужно изолировать неизвестное t.

Сначала домножим обе стороны на $\frac{1}{N_0}$:

$$\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$$

Далее, возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:

$$\log \left(\frac{1}{8}\right)=\log \left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}\right)$$

Воспользуемся свойствами логарифма, в частности, $\log a^b=b\log a$:

$$\log \left(\frac{1}{8}\right)=\frac{t}{T}\log \left(\frac{1}{2}\right)$$

Упростим эту формулу:

$$\log \left(\frac{1}{8}\right)=\frac{t}{T}\log 2$$

Теперь можем найти значение t, разделив обе стороны уравнения на $\frac{\log 2}{T}$:

$$t=T\times \frac{\log \left(\frac{1}{8}\right)}{\log 2}$$

В итоге, чтобы найти время t, через которое количество радиоактивных ядер уменьшится в 8 раз, нужно взять период полураспада T и подставить его в формулу выше.