1. Через какое время количество радиоактивных ядер уменьшится в 8 раз для радиоактивного изотопа рн (222 вверху

Vladimir

65

1. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для периода полураспада радиоактивного изотопа. Период полураспада обозначает время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза. У нас дано, что период полураспада для изотопа Рн-222 составляет 3,825 суток.

Чтобы найти время, через которое количество радиоактивных ядер уменьшится в 8 раз, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[ N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} \]

Где:
- N - количество радиоактивных ядер после времени t
- \( N_0 \) - начальное количество радиоактивных ядер
- t - время, через которое количество ядер будет уменьшено в 8 раз
- T - период полураспада

Мы знаем, что мы хотим найти t, когда N будет в 8 раз меньше, чем \( N_0 \). То есть:

\[ N = \frac{1}{8}N_0 \]

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[ \frac{1}{8}N_0 = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} \]

Для решения этого уравнения нам нужно изолировать неизвестное t.

Сначала домножим обе стороны на \(\frac{1}{N_0}\):

\[ \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} \]

Далее, возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:

\[ \log{\left(\frac{1}{8}\right)} = \log{\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}\right)} \]

Воспользуемся свойствами логарифма, в частности, \(\log{a^b} = b \log{a}\):

\[ \log{\left(\frac{1}{8}\right)} = \frac{t}{T} \log{\left(\frac{1}{2}\right)} \]

Упростим эту формулу:

\[ \log{\left(\frac{1}{8}\right)} = \frac{t}{T} \log{2} \]

Теперь можем найти значение t, разделив обе стороны уравнения на \(\frac{\log{2}}{T}\):

\[ t = T \times \frac{\log{\left(\frac{1}{8}\right)}}{\log{2}} \]

В итоге, чтобы найти время t, через которое количество радиоактивных ядер уменьшится в 8 раз, нужно взять период полураспада T и подставить его в формулу выше.