Каковы боковая поверхность и объем конуса, если радиус его основания равен 3 √2 см, а образующие наклонены к плоскости

Магический_Кот

20

Чтобы найти боковую поверхность и объем конуса, необходимо использовать формулы, связанные с его характеристиками.

1. Боковая поверхность конуса:
Боковая поверхность конуса представляет собой развернутый сектор окружности, поэтому ее можно вычислить по формуле \(S = \pi \cdot r \cdot l\), где \(S\) - боковая поверхность конуса, \(\pi\) - математическая константа приближенно равная 3.14, \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса.

2. Объем конуса:
Объем конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\), где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Приступим к вычислениям.

1. Боковая поверхность конуса:
У нас дан радиус основания равный \(3 \sqrt{2}\) см и угол наклона образующей конуса к плоскости основания равный 45 градусов.
Образующая конуса \(l\) является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором радиус основания \(r\) является одной из катетов, а другой катет равен высоте конуса \(h\).
Мы знаем, что синус угла 45 градусов равен \(\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, получаем \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\).
Так как \(r = 3 \sqrt{2}\), мы можем записать это уравнение как \(\sqrt{(3 \sqrt{2})^2 + h^2}\).
Далее, упростим его: \(\sqrt{(9 \cdot 2) + h^2} = \sqrt{18 + h^2}\).

Теперь, используя формулу для боковой поверхности конуса \(S = \pi \cdot r \cdot l\), подставим выражения для \(r\) и \(l\):
\(S = \pi \cdot (3 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{18 + h^2}\).
Учитывая, что значение \(\pi\) приближенно равно 3.14, мы получаем окончательную формулу для боковой поверхности конуса:
\[S = 3.14 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{18 + h^2}\].

2. Объем конуса:
У нас также дан радиус основания \(r\) равный \(3 \sqrt{2}\) см.
Чтобы найти объем конуса, нам нужно найти высоту \(h\).

Поскольку у нас уже есть выражение для образующей конуса \(l\) (равное \(\sqrt{18 + h^2}\)), мы можем использовать его для выражения высоты \(h\) через \(l\):
\(\sqrt{18 + h^2} = l\).
Возводим обе части уравнения в квадрат и упрощаем:
\(18 + h^2 = l^2\).
Подставляем вместо \(l\) значение гипотенузы, получаем:
\(18 + h^2 = (3 \sqrt{2})^2\).
Раскрываем скобку и упрощаем выражение:
\(18 + h^2 = 18 \cdot 2\).
Вычитаем 18 из обеих частей уравнения:
\(h^2 = 18\).
Извлекаем корень из обеих частей, учитывая, что высота не может быть отрицательной:
\(h = \sqrt{18}\).

Теперь, используя формулу для объема конуса \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\), подставим выражения для \(r\) и \(h\):
\(V = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot (3 \sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{18}\).
Упростим это:
\(V = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 9 \cdot 2 \cdot \sqrt{18}\).
Далее, упростим выражение:
\(V = 3.14 \cdot 18 \cdot \sqrt{18}\).

Итак, боковая поверхность конуса равна \(3.14 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{18 + h^2}\), а объем конуса равен \(3.14 \cdot 18 \cdot \sqrt{18}\).

Можно упростить некоторые значения, подставив числовые значения вместо переменных и выполнить округление до нужного количества знаков после запятой.
Например, чтобы найти конечный ответ, можно использовать калькулятор:

Боковая поверхность конуса:
\(S \approx 3.14 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{18 + (\sqrt{18})^2} \approx 77.98\) квадратных сантиметра.

Объем конуса:
\(V \approx 3.14 \cdot 18 \cdot \sqrt{18} \approx 246.67\) кубических сантиметров.

Таким образом, боковая поверхность конуса составляет приблизительно 77.98 квадратных сантиметра, а объем конуса - приблизительно 246.67 кубических сантиметров.