Известно, что OA = 6, OB = 10. Необходимо найти длины медиан треугольника

Пётр

5

Чтобы найти длины медиан треугольника, нам нужно использовать свойство медиан, которое гласит, что медиана, проведенная из вершины треугольника до середины противоположной стороны, делит эту сторону пополам.

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где A, B и C - вершины треугольника, а O - точка пересечения медиан треугольника.

Пусть точка D - середина стороны BC. Тогда медиана из вершины A делит сторону BC пополам, а значит DC = DB.

Также, пусть точка E - середина стороны AC. Тогда медиана из вершины B делит сторону AC пополам, а значит AE = EC.

Так как мы знаем, что OA = 6, а OB = 10, то мы можем использовать эти данные для нахождения длин медиан.

Давайте нарисуем треугольник и отметим все известные нам значения:

\[AB\]
\[
\begin{array}{cccccc}
& & A & & & \\
& & & \uparrow & & \\
C & & & \bullet & & B \\
& & & & \downarrow & \\
& & E & & & \\
D & & & & & \\
& & O & & &
\end{array}
\]

В треугольнике AOB мы можем применить теорему Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник. Поэтому мы можем рассчитать длину стороны AB следующим образом:

\[
AB = \sqrt{{OA}^2 + {OB}^2} = \sqrt{{6}^2 + {10}^2} = \sqrt{{36 + 100}} = \sqrt{136}
\]

Теперь у нас есть значение стороны AB. Для нахождения длин медиан, нам нужно разделить эту сторону пополам.

Медиана из вершины A проходит через середину стороны BC, поэтому мы можем найти длину медианы, которая соединяет вершину A с точкой D, следующим образом:

\[
AD = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{136} = \frac{\sqrt{136}}{2}
\]

Точно так же, медиана из вершины B проходит через середину стороны AC, поэтому мы можем найти длину медианы, которая соединяет вершину B с точкой E:

\[
BE = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{136} = \frac{\sqrt{136}}{2}
\]

Итак, длины медиан треугольника равны \(\frac{\sqrt{136}}{2}\).