Каковы длина l и период т колебаний стержня с грузиками, укрепленными на его концах? Стержень имеет длину l=30
Каковы длина l и период т колебаний стержня с грузиками, укрепленными на его концах? Стержень имеет длину l=30 см, а грузики установлены на каждом из его концов. Он колеблется вокруг горизонтальной оси, которая проходит через точку, находящуюся на расстоянии d=10 см от одного из концов стержня. Массой стержня можно пренебречь. В Интернете есть неправильное решение этой задачи. Мой преподаватель дал ответ в виде l=0,5 м и t=1,42 с.
Dmitriy 40
Для решения данной задачи, мы можем использовать основные принципы колебаний. Длина l и период т колебаний стержня можно определить с помощью формул, связанных с математическими моделями колебаний.Для начала, давайте определим некоторые обозначения:
- l - длина стержня (в данном случае l = 30 см = 0,3 м)
- d - расстояние от точки оси колебаний до одного из концов стержня (d = 10 см = 0,1 м)
Период колебаний т может быть определен через формулу:
\[t = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}\]
где:
- I - момент инерции стержня относительно оси колебаний
- m - масса одного грузика
- g - ускорение свободного падения (g ≈ 9,8 м/с²)
Теперь давайте найдем момент инерции I. Для него используется формула:
\[I = \frac{m}{12}(3l^2 + 4d^2)\]
Подставим это значение в формулу для периода колебаний:
\[t = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{m}{12}(3l^2 + 4d^2)}{mgd}}\]
Разделим массу m на обе части уравнения:
\[t = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}(3l^2 + 4d^2)}{gd}}\]
Теперь решим это уравнение вместе с данными значениями:
l = 0,3 м
d = 0,1 м
\[t = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}(3(0,3)^2 + 4(0,1)^2)}{9,8 \cdot 0,1}}\]
\[t = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}(0,09 + 0,04)}{0,98}}\]
\[t = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}(0,13)}{0,98}}\]
\[t = 2\pi \sqrt{\frac{0,013}{0,98}}\]
\[t \approx 2\pi \sqrt{0,013}\]
\[t \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 0,114\]
\[t \approx 0,715 \, сек\]
Таким образом, полученный период колебаний t составляет около 0,715 секунд.
А теперь давайте найдем длину стержня l. Для этого воспользуемся выражением для периода колебаний, выведенным из основной формулы:
\[t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]
Чтобы найти l, возводим обе части уравнения в квадрат:
\[(t/2\pi)^2 = \frac{l}{g}\]
Теперь умножим обе части на g:
\[l = (t/2\pi)^2 \cdot g\]
Подставим значение t = 0,715 секунд и g ≈ 9,8 м/с²:
\[l = (0,715/2\pi)^2 \cdot 9,8\]
\[l \approx (0,36)^2 \cdot 9,8\]
\[l \approx 0,1296 \cdot 9,8\]
\[l \approx 1,27 \, м\]
Таким образом, полученная длина стержня l составляет около 1,27 метра.
Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что длина стержня равна примерно 1,27 метра, а период колебаний составляет около 0,715 секунд. Ответы, приведенные в Интернете, являются неправильными. Пожалуйста, учтите, что полученные значения могут быть округлены для удобства восприятия и представлены в правильных единицах измерения.