Каковы длина средней линии и площадь прямоугольной трапеции с вершинами A(-6; 3), B(2; 3), C(4; -3) и D(-6; -3)?

Yuriy

58

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулы для нахождения длины средней линии и площади прямоугольной трапеции.

Для начала, найдем длину оснований трапеции, используя координаты вершин A(-6; 3), B(2; 3), C(4; -3) и D(-6; -3).

Длина основания AB вычисляется по формуле длины отрезка между двумя точками:
AB = \(\sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}\)

Где \(x_{1}\) и \(y_{1}\) - координаты точки A, \(x_{2}\) и \(y_{2}\) - координаты точки B.

Подставляя значения из данной задачи, получаем:
AB = \(\sqrt{(2 - (-6))^2 + (3 - 3)^2}\)
AB = \(\sqrt{64 + 0}\)
AB = \(\sqrt{64}\)
AB = 8

Длина основания CD можно вычислить аналогичным образом:
CD = \(\sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}\)
CD = \(\sqrt{((-6) - 4)^2 + ((-3) - (-3))^2}\)
CD = \(\sqrt{(-10)^2 + 0}\)
CD = \(\sqrt{100}\)
CD = 10

Теперь, чтобы найти длину средней линии, будем использовать формулу:
Медиана = \(\frac{1}{2} \cdot (AB + CD)\)

Вставляя значения длин оснований, получаем:
Медиана = \(\frac{1}{2} \cdot (8 + 10)\)
Медиана = \(\frac{1}{2} \cdot 18\)
Медиана = 9

Теперь перейдем к вычислению площади прямоугольной трапеции. Воспользуемся следующей формулой:
Площадь = \(h \cdot \frac{a + b}{2}\)

где h - высота трапеции, а и b - длины оснований.

Для вычисления высоты, нам понадобится длина боковой стороны трапеции. Длина боковой стороны вычисляется следующим образом:

BC = \(\sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}\)

Подставим значения из задачи:
BC = \(\sqrt{(4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2}\)
BC = \(\sqrt{2^2 + (-6)^2}\)
BC = \(\sqrt{4 + 36}\)
BC = \(\sqrt{40}\)

Теперь используем формулу для нахождения высоты:
h = \(\sqrt{BC^2 - (\frac{AB - CD}{2})^2}\)

Подставляем значения:
h = \(\sqrt{(\sqrt{40})^2 - (\frac{8 - 10}{2})^2}\)
h = \(\sqrt{40 - (-1)^2}\)
h = \(\sqrt{40 - 1}\)
h = \(\sqrt{39}\)

Теперь, используя известные значения, вычислим площадь:
Площадь = \(\sqrt{39} \cdot \frac{8 + 10}{2}\)
Площадь = \(\sqrt{39} \cdot \frac{18}{2}\)
Площадь = \(\sqrt{39} \cdot 9\)
Площадь = 9 \(\sqrt{39}\)

Таким образом, длина средней линии равна 9, а площадь прямоугольной трапеции равна 9 \(\sqrt{39}\).