Каковы длина средней линии прямоугольной трапеции и какова её площадь, если известны координаты точек A(0; 5), B(6

Zvezdopad_Volshebnik

20

Для начала найдем длину средней линии прямоугольной трапеции. Средняя линия трапеции проходит по средней параллельной сторонам их среднему биссектрисе. Сначала найдем координаты середины верхней и нижней сторон трапеции.

1. Найдем середину верхней стороны:
Координаты середины верхней стороны AB:
\[ x_{M_{AB}} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3 \]
\[ y_{M_{AB}} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{5 + 8}{2} = 6.5 \]
Следовательно, середина верхней стороны AB имеет координаты (3; 6.5).

2. Найдем середину нижней стороны:
Координаты середины нижней стороны CD:
\[ x_{M_{CD}} = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{10 + 0}{2} = 5 \]
\[ y_{M_{CD}} = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{0 - 5}{2} = -2.5 \]
Следовательно, середина нижней стороны CD имеет координаты (5; -2.5).

Теперь найдем длину средней линии, которая соединяет эти две середины:
Длина средней линии \(L_{ср}\) вычисляется по формуле:
\[ L_{ср} = \sqrt{(x_{M_{AB}} - x_{M_{CD}})^2 + (y_{M_{AB}} - y_{M_{CD}})^2} \]
\[ L_{ср} = \sqrt{(3 - 5)^2 + (6.5 - (-2.5))^2} \]
\[ L_{ср} = \sqrt{(-2)^2 + (9)^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85} \approx 9.22 \]

Теперь вычислим площадь прямоугольной трапеции. Площадь трапеции \(S\) вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot |x_B - x_A| \cdot (|y_A| + |y_B|) \]
Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot |6 - 0| \cdot (|5| + |8|) \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 13 = 39 \]

Итак, длина средней линии прямоугольной трапеции равна \(\sqrt{85} \approx 9.22\), а её площадь равна 39.