Каковы длины большей диагонали параллелограмма и его площадь, если две его стороны равны 8 и 3 см, а угол между ними

Пылающий_Жар-птица

55

Чтобы определить длину большей диагонали параллелограмма и его площадь, нам понадобится использовать связь между сторонами параллелограмма, углами и диагоналями.

Дано: стороны параллелограмма равны 8 и 3 см, а угол между ними составляет 120 градусов.

1. Вычислим длину большей диагонали параллелограмма, используя теорему косинусов.

По теореме косинусов, длина большей диагонали \(d\) может быть найдена по следующей формуле:

\[d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)\]

где \(a\) и \(b\) - стороны параллелограмма, \(\theta\) - угол между этими сторонами.

Подставим известные значения:

\(a = 8\) см, \(b = 3\) см, \(\theta = 120\) градусов.

Теперь подставим значения в формулу:

\[d^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)\]
\[d^2 = 64 + 9 - 48 \cdot (\cos(120^\circ))\]

Для вычисления косинуса 120 градусов, воспользуемся формулой \(cos(120^\circ) = -0.5\).
\[d^2 = 73 - 48 \cdot (-0.5)\]
\[d^2 = 73 + 24\]
\[d^2 = 97\]

Итак, получаем значение \(d^2 = 97\).

Чтобы найти длину большей диагонали \(d\), возьмем квадратный корень из \(97\):
\[d = \sqrt{97} \approx 9.85\) см (округляем до двух знаков после запятой).

Таким образом, длина большей диагонали параллелограмма равна примерно 9.85 см.

2. Теперь рассчитаем площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону.

В данном случае, мы знаем длину одной из сторон равную 8 см, а также угол между этой стороной и основанием параллелограмма, который составляет 120 градусов.

Высоту параллелограмма можно найти, используя формулу:
\[h = a \cdot \sin(\theta)\]

Подставим известные значения:
\[h = 8 \cdot \sin(120^\circ)\]

Так как \(\sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2\), то:
\[h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\] см.

Теперь рассчитаем площадь параллелограмма, умножив длину одной из сторон (8 см) на высоту (4 \(\sqrt{3}\) см):
\[S = 8 \cdot 4 \sqrt{3}\]
\[S = 32 \sqrt{3}\] см².

Таким образом, площадь параллелограмма составляет \(32 \sqrt{3}\) см².