Каковы длины диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 7 см и 3 см, а угол между ними составляет 120°?

Yarost_5255

27

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма, нам понадобится использовать законы тригонометрии и свойства параллелограмма.

В данной задаче у нас есть параллелограмм, у которого стороны равны 7 см и 3 см, а угол между ними составляет 120°.

Для начала, давайте обратимся к свойству параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам и образуются взаимно перпендикулярными линиями. Зная это свойство, мы можем найти длину одной диагонали путем разделения сторон параллелограмма пополам.

Для нашего случая, длина одной диагонали будет равна половине суммы длин сторон, так как стороны параллелограмма равны. Давайте найдем длину одной диагонали:

\[
\text{{Длина диагонали}} = \frac{{\text{{длина стороны 1}} + \text{{длина стороны 2}}}}{2}
\]

\[
\text{{Длина диагонали}} = \frac{{7 \, \text{{см}} + 3 \, \text{{см}}}}{2}
\]

\[
\text{{Длина диагонали}} = \frac{{10 \, \text{{см}}}}{2}
\]

\[
\text{{Длина диагонали}} = 5 \, \text{{см}}
\]

Таким образом, длина одной диагонали параллелограмма равна 5 см.

Теперь давайте рассмотрим другую диагональ. Зная, что диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины второй диагонали.

Для этого мы найдем длину основания параллелограмма, используя тригонометрическое соотношение между стороной, углом и противолежащей стороной. Затем, зная длину основания и длину одной диагонали, мы найдем длину второй диагонали с помощью теоремы Пифагора.

Пусть \(a\) - длина одной стороны параллелограмма (7 см), а \(b\) - длина второй стороны параллелограмма (3 см), \(c\) - длина диагонали, \(h\) - длина высоты параллелограмма.

Зная, что у нас есть параллелограмм со сторонами 7 см и 3 см, а угол между ними составляет 120°, мы можем использовать формулу для вычисления высоты параллелограмма:

\[
h = \frac{{b \sin A}}{{\sin B}}
\]

где \(A\) - известный нам угол (120°), \(B\) - угол между стороной \(a\) и диагональю \(c\).

В нашем случае, длина основания \(b\) равна 3 см, а угол \(A\) равен 120°. Также, угол \(B\) можно найти, используя свойство параллелограмма -- сумма углов при вершине равна 180°:

\[
B = 180° - A
\]

\[
B = 180° - 120°
\]

\[
B = 60°
\]

Теперь, мы можем рассчитать длину высоты \(h\):

\[
h = \frac{{3 \, \text{{см}} \cdot \sin 120°}}{{\sin 60°}}
\]

Рассчитаем синус угла 120°:

\[
\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60°
\]

Так как синус 60° равен \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\), подставим полученные значения:

\[
h = \frac{{3 \, \text{{см}} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}{{\frac{{1}}{{2}}}}
\]

\[
h = 3 \, \text{{см}} \cdot \sqrt{3}
\]

\[
h = 3\sqrt{3} \, \text{{см}}
\]

Теперь, когда у нас есть высота параллелограмма, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины второй диагонали:

\[
c^2 = a^2 + h^2
\]

\[
c^2 = 7^2 + (3\sqrt{3})^2
\]

\[
c^2 = 49 + 9 \cdot 3
\]

\[
c^2 = 49 + 27
\]

\[
c^2 = 76
\]

\[
c = \sqrt{76}
\]

\[
c \approx 8.72 \, \text{{см}}
\]

Таким образом, длина второй диагонали параллелограмма составляет около 8.72 см. Длина первой диагонали равна 5 см, а длина второй диагонали около 8.72 см.