Каковы длины диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 2 см и 4 см, а угол между ними составляет 120°?

Букашка

42

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с углом между ними.

Пусть стороны параллелограмма равны \(a = 2\) см и \(b = 4\) см, а угол между ними составляет \(C = 120^\circ\). Мы можем изобразить параллелограмм и его диагонали следующим образом:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & d_2 & &\\
& & & \uparrow & &\\
& & & & &\\
& a & \longrightarrow & \longrightarrow & b &\\
& & & & &\\
& & & & &\\
& & & d_1 & &\\
& & & \downarrow & &\\
\end{array}
\]

Мы хотим найти длины диагоналей \(d_1\) и \(d_2\).

Для начала, найдем угол между диагоналями. Поскольку они являются диагоналями параллелограмма, они делятся им на два равных треугольника. Если мы рассмотрим один из таких треугольников, то у нас уже есть две стороны \(a = 2\) см, \(b = 4\) см и угол между ними \(C = 120^\circ\). Для нахождения третьей стороны треугольника \(d_2\), мы можем использовать теорему косинусов:

\[
d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
d_2^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ
\]

Следовательно:

\[
d_2^2 = 4 + 16 - 16 \cdot (-0.5) = 20
\]

Так как длина не может быть отрицательной, получим:

\[
d_2 = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}
\]

Теперь перейдем ко второй диагонали \(d_1\). Она является биссектрисой угла \(C\) параллелограмма и делит его на два равных треугольника. Если мы рассмотрим один из таких треугольников, то у нас уже есть сторона \(a = 2\) см, угол \(C = 120^\circ\) и половину диагонали \(d_2 = 2 \sqrt{5}\) см. Для нахождения \(d_1\), мы можем снова использовать теорему косинусов:

\[
d_1^2 = a^2 + d_2^2 - 2ad_2 \cos \left(\frac{C}{2}\right)
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
d_1^2 = 2^2 + \left(2 \sqrt{5}\right)^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot \cos \left(\frac{120^\circ}{2}\right)
\]

Следовательно:

\[
d_1^2 = 4 + 20 - 16 \sqrt{5} \cdot \cos 60^\circ = 24 - 16 \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = 24 - 8 \sqrt{5}
\]

Так как длина не может быть отрицательной, получим:

\[
d_1 = \sqrt{24 - 8 \sqrt{5}}
\]

Таким образом, для заданного параллелограмма, длина первой диагонали \(d_1\) равна \(\sqrt{24 - 8 \sqrt{5}}\) см, а длина второй диагонали \(d_2\) равна \(2 \sqrt{5}\) см.