Какова длина третьей стороны треугольника с равными сторонами 5 и 8, если его площадь равна

Кристина_2599

12

Хорошо, чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника.

Формула для площади треугольника задается как:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

Где S - площадь треугольника, а, b - длины двух сторон, а C - угол между этими двумя сторонами.

В данном случае мы знаем, что две стороны треугольника равны 5 и 8. Мы также знаем, что это треугольник равносторонний, поэтому с этой информацией мы можем продолжить решение задачи.

Так как треугольник равносторонний, то мы можем утверждать, что все его углы равны 60 градусов, так как в равностороннем треугольнике все углы равны.

Теперь давайте используем соотношение \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), чтобы рассчитать площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[S = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[S = 10\sqrt{3}\]

Теперь, чтобы найти третью сторону треугольника, давайте воспользуемся формулой для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

Подставим известные значения:

\[10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot b \cdot \sin(60^\circ)\]

Сокращаем и упрощаем:

\[10\sqrt{3} = \frac{5b \cdot \sqrt{3}}{2}\]

Теперь давайте избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[10\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{5b \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\]

После упрощения это уравнение становится:

\[20 = 5b\]

Теперь разделим обе части на 5, чтобы выразить b:

\[b = \frac{20}{5}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[b = 4\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна 4.

Это решение основано на использовании формулы площади треугольника, а также на равенстве сторон в равностороннем треугольнике и свойствах синуса.