Каковы длины диагоналей прямоугольника ABCD, если его сторона AB равна 6 см и точка O является точкой пересечения

Парящая_Фея

16

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами прямоугольника и теоремой косинусов. Мы знаем, что диагонали прямоугольника делят его на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Пусть длина диагонали AC равна \(a\), а длина диагонали BD равна \(b\).

Так как у нас имеется равенство углов \(\angle AOB = \angle COD = 60^\circ\), то треугольники AOB и COD являются равносторонними. В таком треугольнике все стороны равны, поэтому AO = BO = CO = DO = x, где \(x\) - это длина каждой из этих сторон.

Зная, что треугольник AOB равносторонний, можем найти значение стороны AO с помощью теоремы косинусов:

\(\cos(60^\circ) = \frac{{AO^2 + BO^2 - AB^2}}{{2 \times AO \times BO}}\)

Подставим известные значения и решим уравнение относительно \(x\):

\(\frac{1}{2} = \frac{{x^2 + x^2 - 6^2}}{{2 \times x \times x}}\)

Упростим это уравнение:

\(\frac{1}{2} = \frac{{2x^2 - 36}}{{2x^2}}\)

Теперь, перемножим обе части уравнения на \(2x^2\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(x^2 = 2x^2 - 36\)

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

\(x^2 - 2x^2 = -36\)

\(-x^2 = -36\)

Умножим обе части уравнения на -1:

\(x^2 = 36\)

Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\(x = \sqrt{36}\)

\(x = 6\)

Таким образом, сторона AO (и любая другая сторона) прямоугольника равна 6 см.

Теперь рассмотрим диагонали AC и BD. Каждая диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника.

Мы знаем, что у треугольника AOB длина каждой стороны равна 6 см. Используя теорему Пифагора, можем найти длину диагонали AC:

\(AC^2 = AO^2 + OC^2\)

\(AC^2 = 6^2 + 6^2\)

\(AC^2 = 72\)

\(AC = \sqrt{72}\)

\(AC = 6\sqrt{2}\)

Таким образом, длина диагонали AC равна \(6\sqrt{2}\) см.

Аналогичным образом можно найти длину диагонали BD:

\(BD^2 = BO^2 + OD^2\)

\(BD^2 = 6^2 + 6^2\)

\(BD^2 = 72\)

\(BD = \sqrt{72}\)

\(BD = 6\sqrt{2}\)

Таким образом, длина диагонали BD также равна \(6\sqrt{2}\) см.