Каковы длины дуг описанной окружности треугольника, образованных его вершинами? Сторона треугольника равна 6√3

Anzhela_1629

29

Чтобы найти длины дуг, образованных вершинами треугольника на описанной окружности, нам нужно рассмотреть геометрические свойства окружности и треугольника.

Для начала, рассмотрим треугольник, в котором угол между стороной и радиусом окружности, проведенным из центра окружности к середине этой стороны, составляет 90°. Это происходит, потому что любой радиус окружности, проведенный к точке на окружности, перпендикулярен к касательной к окружности в этой точке. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник.

Дано, что сторона треугольника равна 6√3 и прилежащие углы составляют 40°. В этом случае, угол между стороной треугольника и радиусом окружности будет половиной угла при основании треугольника. Так как у нас есть прилежащие углы, то каждый из них будет равен 80°. Следовательно, угол при основании треугольника будет 2 умножить на 80°, то есть 160°.

Теперь рассмотрим четверть окружности (90°), которая соответствует этому углу в нашем прямоугольном треугольнике. Длина дуги этой четверти окружности равна четверти длины окружности, то есть \(\frac{1}{4} \times 2 \pi r\), где \(r\) - радиус окружности.

Чтобы найти радиус окружности, мы можем использовать теорему синусов для треугольника. Так как у нас прямоугольный треугольник, где сторона равна половине диагонали вписанного в него прямоугольника, мы можем найти радиус окружности с помощью формулы \(r = \frac{a}{2}\), где \(a\) - сторона треугольника.

Подставляя данное значение стороны треугольника (6√3) в формулу, получим \(r = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).

Теперь, используя формулу для длины дуги в четверти окружности, получаем \(D = \frac{1}{4} \times 2 \pi r = \frac{1}{2} \pi r\).
Подставляя значение радиуса (3√3), получаем \(D = \frac{1}{2} \pi \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3}{2} \pi \sqrt{3}\).

Таким образом, длины дуг, образованных вершинами треугольника на описанной окружности, равны \(\frac{3}{2} \pi \sqrt{3}\) единиц длины.