При каких значениях a уравнение 2^x-a=sqrt(4^x-3a) имеет только один корень?

Парящая_Фея

43

Чтобы найти значения "a", при которых уравнение \(2^x - a = \sqrt{4^x - 3a}\) имеет только один корень, нам нужно рассмотреть возможные случаи.

Давайте начнем с поиска корней уравнения. Для удобства обозначим левую часть уравнения \(2^x - a\) как функцию \(f(x)\) и правую часть \( \sqrt{4^x - 3a}\) как функцию \(g(x)\). Тогда мы можем записать уравнение как \(f(x) = g(x)\).

Итак, для нахождения корней уравнения, нам нужно решить уравнение \(f(x) - g(x) = 0\). Давайте сделаем это.

Сначала вычислим функцию \(f(x)\):
\[f(x) = 2^x - a\]

Теперь вычислим функцию \(g(x)\):
\[g(x) = \sqrt{4^x - 3a}\]

Теперь найдем разность функций: \(f(x) - g(x)\):
\[f(x) - g(x) = 2^x - a - \sqrt{4^x - 3a}\]

Теперь мы можем решить уравнение \(f(x) - g(x) = 0\):
\[2^x - a - \sqrt{4^x - 3a} = 0\]

Чтобы упростить решение этого уравнения, давайте введем замену. Пусть \(y = 2^x\). Тогда, согласно этой замене, мы можем выразить \(x\) через \(y\) следующим образом: \(x = \log_2 y\).

Теперь, используя эту замену, мы можем переписать уравнение в терминах \(y\):
\[y - a - \sqrt{y^2 - 3a} = 0\]

На данный момент мы имеем квадратный корень в уравнении, поэтому для упрощения мы возведём оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[(y - a)^2 - (y^2 - 3a) = 0\]
\[y^2 - 2ay + a^2 - y^2 + 3a = 0\]
\[2a - 2ay + a^2 = 0\]
\[a(1 - 2y) + a^2 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y\). Чтобы иметь только один корень, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю.

Вычислим дискриминант \(D\):
\[D = (-2a)^2 - 4a(1 - 2y)a^2\]
\[D = 4a^2 - 4a + 8aya^2\]
\[D = 4a^2 - 4a + 8a^3y\]

Так как нам нужно, чтобы \(D = 0\), то:
\[4a^2 - 4a + 8a^3y = 0\]

Поскольку мы ищем значения \(a\), при которых уравнение имеет только один корень, значит значение дискриминанта должно быть равно нулю:
\[4a^2 - 4a + 8a^3y = 0\]

Теперь давайте рассмотрим два случая.

Случай 1: \(a = 0\).
Если \(a = 0\), то у нас остается уравнение \(0 = 0\). При таком значении \(a\) уравнение будет иметь бесконечное количество корней.

Случай 2: \(a \neq 0\).
Делаем замену: пусть \(y = \frac{1}{2a}\). Тогда:
\[4a^2 - 4a + 8a^3y = 0\]
\[4a^2 - 4a + 8a^3 \cdot \frac{1}{2a} = 0\]
\[4a^2 - 4a + 4a^2 = 0\]
\[8a^2 - 4a = 0\]
\[4a(2a - 1) = 0\]

Так как \(a \neq 0\), решим \(2a - 1 = 0\):
\[2a = 1\]
\[a = \frac{1}{2}\]

Таким образом, уравнение \(2^x - a = \sqrt{4^x - 3a}\) будет иметь только один корень при \(a = \frac{1}{2}\).

Надеюсь, этот развернутый ответ помог вам понять, как найти значения \(a\), при которых уравнение имеет только один корень.