Каковы длины этих наклонных, если их отношение составляет 2:3, а их проекции на плоскость равны 7см и 12см? Важно

Алексеевна

27

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать геометрические свойства треугольников и пропорции. Давайте пошагово решим задачу:

Шаг 1: Обозначим длины наклонных сторон как \(a\) и \(b\), а их проекции на плоскость как \(x\) и \(y\).

Шаг 2: Зная, что отношение между наклонными сторонами составляет 2:3, мы можем записать следующее:
\[\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\]

Шаг 3: Также нам дано, что проекции на плоскость равны 7 см и 12 см:
\[x = 7 \text{ см}, \quad y = 12 \text{ см}\]

Шаг 4: Используя геометрические свойства, мы знаем, что проекция наклонной стороны на плоскость образует прямоугольный треугольник с соответствующей наклонной стороной. То есть, у нас есть два прямоугольных треугольника, один с гипотенузой \(a\) и противоположным катетом \(x\), а другой с гипотенузой \(b\) и противоположным катетом \(y\).

Шаг 5: В прямоугольном треугольнике, гипотенуза и противоположный катет связаны соотношением Пифагора:
\[a^2 = x^2 + (y-b)^2\]
\[b^2 = y^2 + (x-a)^2\]

Шаг 6: Решим последние два уравнения относительно \(a\) и \(b\).

Итак, решим систему уравнений:

\[\left\{\begin{array}{l}(\frac{a}{b}=\frac{2}{3})\\(a^2 = x^2 + (y-b)^2)\\(b^2 = y^2 + (x-a)^2)\end{array}\right.\]

Шаг 7: Подставим известные значения \(x\), \(y\) и решим уравнения.

Получаем:

\[\left\{\begin{array}{l}(\frac{a}{b}=\frac{2}{3})\\(a^2 = 49 + (144- b)^2)\\(b^2 = 144 + (49- a)^2)\end{array}\right.\]

Шаг 8: Решим первое уравнение относительно \(a\):
\(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\) - множим обе части на \(b\) для избавления от дроби:
\(a = \frac{2}{3}b\)

Шаг 9: Подставим \(a\) во второе уравнение:
\((\frac{2}{3}b)^2 = 49 + (144- b)^2\)

Шаг 10: Упростим уравнение:
\(\frac{4}{9}b^2 = 49 + 144^2 - 288b + b^2\)

Шаг 11: Приведем подобные члены и соберем все члены слева:
\(\frac{4}{9}b^2 - b^2 + 288b = 49 + 144^2\)

Шаг 12: Упростим еще больше:
\(-\frac{5}{9}b^2 + 288b - 20735 = 0\)

Шаг 13: Решим уравнение с помощью квадратного трехчлена:
\[(-\frac{5}{9}b^2 + 288b - 20735 = 0)\]

Шаг 14: Найдем корни уравнения:
\[b_1 \approx -4.8975, \quad b_2 \approx 270.6777\]

Шаг 15: Ответом будет положительное значение для \(b\), то есть:
\[b \approx 270.6777 \text{ см}\]

Шаг 16: Подставим найденное значение \(b\) в выражение для \(a\):
\[a = \frac{2}{3}b \approx \frac{2}{3} \cdot 270.6777 \approx 180.4518 \text{ см}\]

Ответ: Длина первой наклонной стороны (наклонной стороны, создающей проекцию в 7 см) составляет примерно 180,45 см, а длина второй наклонной стороны (наклонной стороны, создающей проекцию в 12 см) составляет примерно 270,68 см.