1. Какая из данных точек находится в плоскости XOY: а) A (3; 7;-5); в) C (3;0; 5); б) B (2;-2;0); г) D (0;-1;2

Морской_Путник

13

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Для того чтобы узнать, какая из данных точек находится в плоскости XOY, нам нужно определить, имеют ли все эти точки одинаковую третью координату (значение Z). Посмотрим на даные точки:

а) A (3; 7;-5)
в) C (3;0; 5)
б) B (2;-2;0)
г) D (0;-1;2)

У точки A третья координата -5, у точки C третья координата 5, у точки B третья координата 0, а у точки D третья координата 2. Только точка B имеет третью координату равную 0, поэтому ответом является точка B.

2. Для нахождения координат точки B, находящейся на отрезке AM, мы можем использовать подобие треугольников. Рассмотрим данные точки:

а) B(6;0;-2)
в) B(1;-3;-2)
б) B(7;-6;1)

Координаты точки A - (4;-6; 2), координаты точки M - (5;-3;0). Используя подобие треугольников, мы можем построить следующее соотношение:

\(\frac{XB}{XM} = \frac{AB}{AM}\)

где XB, XM - координаты точек B и M соответственно, AB и AM - расстояния между точками A и B, A и М соответственно.

Выполняя подстановку данных, мы получаем:

\(\frac{XB}{(XM)} = \frac{\sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2 + (B_z - A_z)^2}}{\sqrt{(M_x - A_x)^2 + (M_y - A_y)^2 + (M_z - A_z)^2}}\)

Подставляя значения координат, получаем:

\(\frac{XB}{(5-4)} = \frac{\sqrt{(6-4)^2 + (0-(-6))^2 + ((-2)-2)^2}}{\sqrt{(5-4)^2 + (-3-(-6))^2 + (0-2)^2}}\)

\(\frac{XB}{1} = \frac{\sqrt{2^2 + 6^2 + (-4)^2}}{\sqrt{1^2 + (-3-(-6))^2 + (-2-2)^2}}\)

\(\frac{XB}{1} = \frac{\sqrt{56}}{\sqrt{26}}\)

Осталось найти значение XB:

\(XB = \frac{\sqrt{56}}{\sqrt{26}}\)

Далее, подставляя значения точек B(1;-3;-2), B(6;0;-2) и B(7;-6;1), мы видим, что только B(6;0;-2) удовлетворяет условию, следовательно, ответом является B(6;0;-2).

3. Чтобы найти площадь проекции равнобедренного треугольника на плоскость, мы можем использовать формулу площади проекции. Рассмотрим данные:

а) 9/8 см^2
в) 4/5 см^2
б) 8/9 см^2

Равнобедренный треугольник имеет боковую сторону равную 3 см и угол, противолежащий основанию, равный 30°. Плоскость треугольника наклонена под углом 60 градусов к плоскости проекции.

Площадь проекции равна:

\(S_{проекция} = S_{треугольника} \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)\)

где S_{треугольника} - площадь треугольника, \(\alpha\) и \(\beta\) - углы между плоскостью проекции и плоскостью треугольника соответственно.

Мы знаем, что боковая сторона равна 3 см, поэтому, используя формулу площади равнобедренного треугольника \(S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\), где b - длина основания (боковой стороны), h - высота треугольника, получаем:

\(S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot h\)

Остается найти значение высоты. Мы знаем, что угол \(\gamma\) (угол между плоскостью проекции и плоскостью треугольника) равен 60° и угол противолежащий основанию (угол \(\alpha\)) равен 30°. Зная эти углы, мы можем найти высоту треугольника, используя тангенс:

\(\tan(\alpha) = \frac{h}{b}\)

\(\tan(30) = \frac{h}{3}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{3}\)

Таким образом, высота треугольника равна \(\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\).

Теперь, подставляем значения в формулу площади проекции:

\(S_{проекция} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30) \cdot \cos(60)\)

\(S_{проекция} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}\)

\(S_{проекция} = \frac{9}{8}\) см^2.

Следовательно, ответом является а) 9/8 см^2.

4. Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, мы можем использовать формулу:

\(d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

Где A, B, C и D - коэффициенты плоскости, Ax + By + Cz + D = 0.

Так как нам не даны коэффициенты плоскости и точка, с которой мы считаем расстояние, то мы не можем привести конкретный ответ.

Надеюсь, что эти ответы помогли вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.