Каковы длины отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота, проведенная из вершины прямого угла, если острый угол

Peschanaya_Zmeya

55

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором острый угол равен 30 градусам. Пусть гипотенуза этого треугольника равна некоторой длине, которую обозначим как \(c\).

Высота, проведенная из вершины прямого угла (перпендикулярная гипотенузе), делит гипотенузу на два отрезка. Пусть первый отрезок равен \(a\) и второй отрезок равен \(b\).

Нам известно, что треугольник прямоугольный и острый угол равен 30 градусам. Таким образом, у нас есть основание \(b\) и высота \(a\), которые образуют прямоугольный треугольник с углом 30 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника. В данном случае, мы можем использовать соотношение для тангенса угла 30 градусов: \(\tan(30^\circ) = \frac{a}{b}\).

Значение тангенса 30 градусов можно найти из таблицы тригонометрических значений или с помощью калькулятора. Тангенс 30 градусов равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Таким образом, у нас получается следующее уравнение: \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{b}\).

Мы знаем, что гипотенуза равна \(c\), поэтому можем записать следующее соотношение: \(c = a + b\).

Теперь у нас есть два уравнения: \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{b}\) и \(c = a + b\). Мы можем решить эти уравнения относительно неизвестных величин \(a\) и \(b\).

Давайте решим первое уравнение относительно \(a\):

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{b}\).

Умножаем обе части уравнения на \(b\):

\(\frac{b}{\sqrt{3}} = a\).

Теперь подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\(c = a + b\).

\(c = \frac{b}{\sqrt{3}} + b\).

Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\(c\sqrt{3} = b + b\sqrt{3}\).

Разложим на два слагаемых:

\(c\sqrt{3} = b(1 + \sqrt{3})\).

Теперь разделим обе части уравнения на \(1 + \sqrt{3}\):

\(b = \frac{c\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\).

Мы нашли выражение для \(b\). Теперь можем найти \(a\) с помощью первого уравнения:

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{b}\).

Подставляем значение \(b\):

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\frac{c\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}\).

Упрощаем выражение:

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a(1 + \sqrt{3})}{c\sqrt{3}}\).

Перемножаем обе части уравнения на \(c\sqrt{3}\):

\(\frac{c\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = a(1 + \sqrt{3})\).

\(c = a(1 + \sqrt{3})\).

Теперь можем найти значения \(a\) и \(b\) в зависимости от известной длины гипотенузы \(c\).

Надеюсь, этот подробный разбор помог вам разобраться в задаче. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.