Каковы длины сторон прямоугольного треугольника, если высота, опущенная из вершины прямого угла, равна 48

Valentinovna

52

Давайте решим задачу пошагово.

Пусть стороны прямоугольного треугольника обозначены как \(a\), \(b\) и \(c\), где сторона \(c\) - это гипотенуза.
Мы знаем, что высота, опущенная из вершины прямого угла, равна 48 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу равна \(x\) см.

Шаг 1: Применим теорему Пифагора
Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Можем записать это в виде уравнения:
\[a^2 + b^2 = c^2\]

Шаг 2: Найдем проекцию \(x\)
Мы знаем, что проекция одного из катетов на гипотенузу равна \(x\) см. Для нахождения катета нам нужно применить подобие треугольников.
Отношение проекции \(x\) к гипотенузе \(c\) равно отношению катета \(a\) к гипотенузе \(c\):
\(\frac{x}{c} = \frac{a}{c}\)
Упростим это уравнение:
\(x = \frac{a}{c} \cdot c\)
\(x = a\)

Шаг 3: Заменим \(x\) на \(a\) в уравнении Пифагора
Подставим \(a\) вместо \(x\) в уравнение Пифагора:
\(a^2 + b^2 = c^2\)

Шаг 4: Решение уравнения
Мы знаем, что высота, опущенная из вершины прямого угла, равна 48 см. Это означает, что один из катетов имеет длину 48 см:
\(a = 48\)

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение Пифагора:
\(48^2 + b^2 = c^2\)

Шаг 5: Решение уравнения
Теперь нам нужно найти длину другого катета \(b\). Для этого можно использовать данное значение проекции \(x\), так как проекция равна другому катету:
\(b = x\)

Шаг 6: Найдем значение гипотенузы \(c\)
Выразим \(c^2\) из уравнения Пифагора и заменим значения \(a\) и \(b\):
\(48^2 + x^2 = c^2\)

Шаг 7: Найдем значение \(c\)
Вычислим квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значение гипотенузы \(c\):
\(\sqrt{48^2 + x^2} = c\)

Поскольку у нас нет конкретного значения для проекции \(x\) или для другого катета \(b\), мы не можем найти конкретные значения для сторон прямоугольного треугольника. Однако мы можем записать ответ, используя общую формулу:

Длина первого катета \(a\) равна 48 см, второй катет \(b\) равен проекции \(x\), а гипотенуза \(c\) равна \(\sqrt{48^2 + x^2}\).