Какая площадь боковой поверхности у конуса, если через его вершину проведена плоскость, которая пересекает основание

Единорог

43

Для решения этой задачи, мы сначала найдем радиус основания конуса, используя длину хорды основания.

Шаг 1: Найдем радиус основания конуса.
Дано, что хорда основания конуса равна 5 см. Поскольку хорда и дуга образуют прямоугольный треугольник, мы можем использовать геометрические свойства этого треугольника для вычисления радиуса основания.

По определению окружности, радиус взаимно перпендикулярен с хордой, проходящей через его конец. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине длины хорды (5 см / 2 = 2,5 см) и другой катет равен радиусу.

Применяя тригонометрическую функцию синуса к углу, образованному плоскостью сечения и плоскостью основания, мы можем записать следующее уравнение:

\(\sin 60° = \frac{2,5 см}{R}\), где R - радиус основания, который мы хотим найти.

Решив это уравнение, мы найдем радиус основания, равный 2,5 см / \(\sin 60°\).

Шаг 2: Найдем высоту конуса.
Из условия задачи известно, что плоскость сечения образует угол 60° с плоскостью основания. Поскольку угол между плоскостью сечения и основания конуса - это вертикальный угол, то искомый угол между плоскостью сечения и боковой поверхностью конуса также равен 60°.

Возьмем прямоугольный треугольник, где один катет равен радиусу основания (как найдено в Шаге 1), а другой катет - это высота конуса. Гипотенуза этого треугольника - это образующая боковой поверхности конуса. Мы будем обозначать высоту конуса как h.

Применяя тригонометрическую функцию синуса к углу 60°, мы можем записать следующее уравнение:

\(\sin 60° = \frac{h}{R}\), где h - высота конуса.

Решив это уравнение, мы найдем высоту конуса, равную \(R \cdot \sin 60°\).

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S = \pi \cdot R \cdot l\), где R - радиус основания, l - образующая конуса.

В нашем случае образующая конуса равна высоте, полученной в Шаге 2.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности, исходя из найденного радиуса основания и высоты конуса.

Заметим, что площадь боковой поверхности конуса также равна произведению длины окружности основания на образующую конуса.
Поскольку плоскость сечения стягивает дугу на 90°, длина хорды равна диаметру основания, то есть длине окружности основания.

Легко проверить, что длина окружности основания равна \(2 \pi R\).
В нашем случае \(l = 2 \pi R\).

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса будет равна \(S = \pi \cdot R \cdot l = \pi \cdot R \cdot 2 \pi R\).

Подставляя значение радиуса, найденного в Шаге 1, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса.

Пожалуйста, пользуйтесь этими шагами для вычисления площади боковой поверхности конуса в данной задаче.