Каковы градусные меры вписанных углов в окружность, разделенную точками О и Е на две дуги, где их отношение равно 2:7?

Вихрь

28

Для решения данной задачи, нам потребуется изучить свойства вписанных углов и связанных с ними дуг окружности.

По определению, вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны примыкают к дугам окружности. Если в радианах обозначить меру вписанного угла через \(\alpha\), а меры дуг, разделенных этим углом, через \(s_1\) и \(s_2\), то справедливо следующее соотношение:

\(\alpha = \frac{{s_1 - s_2}}{2R}\), где \(R\) — радиус окружности.

В данной задаче описаны две дуги окружности, разделенные точками \(О\) и \(Е\), причем их отношение равно 2:7. Обозначим меру более маленькой дуги через \(s_1\) и более большой дуги через \(s_2\). Исходя из отношения дуг, можно записать:

\(\frac{{s_1}}{{s_2}} = \frac{{2}}{{7}}\).

На основании этого отношения, можно записать:

\(s_1 = \frac{{2}}{{9}} \cdot s\), где \(s\) — суммарная мера двух дуг.

Также известно, что суммарная мера дуг равна \(2\pi R\), поскольку это полная окружность.

Теперь, зная значение \(s_1\) и \(s_2\), можно рассчитать меру вписанных углов, используя формулу, описанную ранее:

\(\alpha = \frac{{s_1 - s_2}}{2R}\).

Для удобства расчетов, возьмем \(R = 1\) (мы можем выбрать любое значение радиуса, так как это будет масштабный коэффициент при расчете меры углов).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\(\alpha = \frac{{\frac{{2}}{{9}} \cdot 2\pi R - \frac{{2}}{{9}} \cdot 7\pi R}}{2R}\).

Сокращая коэффициенты и радиус, получаем:

\(\alpha = \frac{{2\pi - 7\pi}}{9} = -\frac{{5\pi}}{9}\).

Таким образом, мера вписанного угла равна \(-\frac{{5\pi}}{9}\) радиан.

Если требуется ответ в градусах, то используем соотношение \(180^\circ = \pi\) радиан, и получаем:

\(\alpha = -\frac{{5\pi}}{{9}} \cdot \frac{{180}}{{\pi}} = -\frac{{900}}{{9}} = -100^\circ\).

Ответ: мера каждого вписанного угла равна \(-100^\circ\).

Обратите внимание, что мера угла отрицательная, так как мы выбрали направление против часовой стрелки для обозначения угла. Если бы мы выбрали направление по часовой стрелке, мера угла была бы положительной.