Каковы границы, в которых с вероятностью 0,95 находится доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту, во всей партии

Yantarnoe

5

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться Биномиальным распределением и его аппроксимацией - Нормальным распределением. Давайте приступим к решению.

Обозначим:
\(n\) - количество испытаний (выборка);
\(p\) - вероятность неудачи в каждом отдельном испытании (телевизор не соответствует стандарту);
\(q\) - вероятность успеха в каждом отдельном испытании (телевизор соответствует стандарту);
\(N\) - общее количество объектов в партии.

Используя формулу для нахождения границ доли доверительного интервала в Биномиальном распределении, имеем:

\[p - Z \cdot \sqrt{\frac{{p \cdot q}}{{n}}} \leq \hat{p} \leq p + Z \cdot \sqrt{\frac{{p \cdot q}}{{n}}}\]

где \(\hat{p}\) - выборочная доля телевизоров не соответствующих стандарту, \(Z\) - Z-критерий стандартного нормального распределения для доверительной вероятности \(1 - \alpha\).

В данной задаче нам нужно найти границы доли телевизоров \(\hat{p}\) при доверительной вероятности \(0,95\). Это соответствует \(Z = 1,96\) для двустороннего доверительного интервала.

Теперь подставим известные значения в формулу. У нас \(n = 800\), \(p = 0,10\), \(q = 1 - p = 0,90\) и \(N = 8000\).

\[0,10 - 1,96 \cdot \sqrt{\frac{{0,10 \cdot 0,90}}{{800}}} \leq \hat{p} \leq 0,10 + 1,96 \cdot \sqrt{\frac{{0,10 \cdot 0,90}}{{800}}}\]

Теперь произведем необходимые вычисления:

\[0,10 - 1,96 \cdot \sqrt{\frac{{0,09}}{{800}}} \leq \hat{p} \leq 0,10 + 1,96 \cdot \sqrt{\frac{{0,09}}{{800}}}\]

\[0,10 - 1,96 \cdot \sqrt{\frac{{0,09}}{{800}}} \leq \hat{p} \leq 0,10 + 1,96 \cdot \sqrt{\frac{{0,09}}{{800}}}\]

\[0,10 - 0,0194 \leq \hat{p} \leq 0,10 + 0,0194\]

\[0,0806 \leq \hat{p} \leq 0,1206\]

Таким образом, с вероятностью \(0,95\) доля телевизоров, не соответствующих стандарту, во всей партии находится в диапазоне от \(0,0806\) до \(0,1206\).