Каковы изменения в модуле напряженности электрического поля в точке между двумя маленькими заряженными шариками

Yascherica

42

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим, как меняется модуль напряженности электрического поля между двумя заряженными шариками после их соприкосновения и раздвижения на прежнее расстояние.

Перед соприкосновением шариков, в соответствии с законом Кулона, модуль напряженности электрического поля \(E\) между шариками с зарядами \(+2q\) и \(-4q\) определяется по формуле:

\[E = \frac{{k \cdot |Q|}}{{r^2}}\]

где \(k\) - постоянная Кулона (\(k \approx 9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(|Q|\) - модуль заряда одного из шариков (\(|Q| = 2q\) или \(-4q\)), \(r\) - расстояние между шариками.

После соприкосновения и раздвижения шариков на прежнее расстояние, заряды шариков остаются прежними, но расстояние между ними меняется на определенное значение, которое мы не знаем. Обозначим изменение расстояния как \(\Delta r\).

Тогда, чтобы найти изменение модуля напряженности электрического поля, мы можем использовать закон Кулона и применить следующие шаги:

1. Найдем значение \(E_1\) до соприкосновения и раздвижения шариков. Подставим \(Q = 2q\) и \(r = r_1\) в формулу:

\[E_1 = \frac{{k \cdot |Q|}}{{r_1^2}}\]

2. Найдем значение \(E_2\) после соприкосновения и раздвижения шариков. Подставим \(Q = 2q\) и \(r = r_1 + \Delta r\) в формулу:

\[E_2 = \frac{{k \cdot |Q|}}{{(r_1 + \Delta r)^2}}\]

3. Найдем изменение модуля напряженности электрического поля:

\(\Delta E = E_2 - E_1\)

Учитывая, что \(E_1 = \frac{{k \cdot |Q|}}{{r_1^2}}\) и \(E_2 = \frac{{k \cdot |Q|}}{{(r_1 + \Delta r)^2}}\), подставим эти значения в формулу для \(\Delta E\):

\(\Delta E = \frac{{k \cdot |Q|}}{{(r_1 + \Delta r)^2}} - \frac{{k \cdot |Q|}}{{r_1^2}}\)

4. Выполним необходимые алгебраические преобразования для упрощения формулы.

Умножим каждую дробь на общий знаменатель \((r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2)\):

\(\Delta E = \frac{{k \cdot |Q| \cdot r_1^2}}{{r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2}} - \frac{{k \cdot |Q| \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}{{r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}\)

\(\Delta E = \frac{{k \cdot |Q| \cdot r_1^2 - k \cdot |Q| \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}{{r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}\)

\(\Delta E = \frac{{k \cdot |Q| \cdot r_1^2 - k \cdot |Q| \cdot (r_1^2 + 2 \cdot r_1 \cdot \Delta r + (\Delta r)^2)}}{{r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}\)

Упростим выражение:

\(\Delta E = \frac{{k \cdot |Q| \cdot r_1^2 - k \cdot |Q| \cdot r_1^2 - 2 \cdot k \cdot |Q| \cdot r_1 \cdot \Delta r - k \cdot |Q| \cdot (\Delta r)^2}}{{r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}\)

\(\Delta E = \frac{{- 2 \cdot k \cdot |Q| \cdot r_1 \cdot \Delta r - k \cdot |Q| \cdot (\Delta r)^2}}{{r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}\)

5. Учитывая, что заряды шариков \(Q\) равны \(2q\) и \(-4q\), подставим их значения в формулу:

\(\Delta E = \frac{{- 2 \cdot k \cdot |2q| \cdot r_1 \cdot \Delta r - k \cdot |2q| \cdot (\Delta r)^2}}{{r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}\)

или:

\(\Delta E = \frac{{- 4 \cdot k \cdot q \cdot r_1 \cdot \Delta r - 4 \cdot k \cdot q \cdot (\Delta r)^2}}{{r_1^2 \cdot (r_1 + \Delta r)^2}}\)

Это является окончательной формулой для изменения модуля напряженности электрического поля между двумя заряженными шариками после их соприкосновения и раздвижения на прежнее расстояние.

Важно отметить, что данная формула является аппроксимацией и предполагает, что расстояние \(\Delta r\) между шариками достаточно мало по сравнению с исходным расстоянием \(r_1\). Если \(\Delta r\) слишком велико, формула может не давать точного значения изменения модуля напряженности электрического поля.