Каковы координаты вектора с={5; 1} в базисе, представленном а={2; -1} и b={1

Orel

43

Чтобы найти координаты вектора \(\mathbf{c}\) в базисе, представленном векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), мы должны решить систему линейных уравнений, полученную из равенства \(\mathbf{c} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}\), где \(x\) и \(y\) - это координаты, которые мы ищем.

Подставим значения \(\mathbf{c} = (5, 1)\), \(\mathbf{a} = (2, -1)\) и \(\mathbf{b} = (1, 3)\) в равенство \(\mathbf{c} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}\):

\((5, 1) = x(2, -1) + y(1, 3)\)

Раскроем скобки:

\((5, 1) = (2x, -x) + (y, 3y)\)

Теперь у нас есть два уравнения, одно для координаты \(x\) и другое для координаты \(y\):

\[5 = 2x + y\]
\[1 = -x + 3y\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для \(x\) и \(y\), используя любой подход, который вам удобен. Давайте применим метод замены или метод сложения уравнений.

Сначала решим первое уравнение относительно \(y\):

\[y = 5 - 2x\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[1 = -x + 3(5 - 2x)\]

Раскроем скобки:

\[1 = -x + 15 - 6x\]

Соберем все \(x\) вместе:

\[7x = 14\]

Разделим обе части на 7:

\[x = 2\]

Теперь, чтобы найти \(y\), подставим значение \(x = 2\) в первое уравнение:

\[y = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1\]

Таким образом, мы получаем, что координаты вектора \(\mathbf{c}\) в базисе, представленном векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), равны \(x = 2\) и \(y = 1\).

Итак, координаты вектора \(\mathbf{c}\) в базисе равны \((2, 1)\).