Каковы координаты вершин треугольника ABC, если середины его сторон имеют координаты К(-4; 2), L(1; 6) и М(-3

Солнечный_Пирог_2608

69

Чтобы найти вершины треугольника ABC, зная координаты середин его сторон, давайте воспользуемся следующим фактом: если середины сторон треугольника соединены отрезками выполнены условиями:
\[K\left(\frac{{K_x + L_x}}{2}; \frac{{K_y + L_y}}{2}\right), L\left(\frac{{L_x + M_x}}{2}; \frac{{L_y + M_y}}{2}\right), M\left(\frac{{M_x + K_x}}{2}; \frac{{M_y + K_y}}{2}\right)\]
Теперь подставим значения и найдем вершины:

Для точки K: \(K_x = -4\), \(L_x = 1\), \(M_x = -3\), \(K_y = 2\), \(L_y = 6\), \(M_y = 2\).

Для точки K:
\[
K_x = \frac{{-4 + 1}}{2} = -\frac{3}{2}
\]
\[
K_y = \frac{{2 + 6}}{2} = 4
\]
Таким образом, координаты вершины K равны \((-3/2, 4)\).

Аналогично, для точек L и M:
\[
L_x = \frac{{1 + -3}}{2} = -1
\]
\[
L_y = \frac{{6 + 2}}{2} = 4
\]
Таким образом, координаты вершины L равны \((-1, 4)\).

\[
M_x = \frac{{-3 + -4}}{2} = -\frac{7}{2}
\]
\[
M_y = \frac{{2 + 2}}{2} = 2
\]
Таким образом, координаты вершины M равны \((-7/2, 2)\).

Теперь давайте найдем длину медианы треугольника. Медиана треугольника - это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В нашем случае, пусть P будет вершиной треугольника, а N - серединой противоположной стороны. Давайте найдем вершину P.

Мы уже знаем координаты вершин K, L и M. Чтобы найти вершину P, нам нужно найти среднее значение x-координат вершин K, L и M, и среднее значение y-координат вершин K, L и M.

Для x-координат:
\[
P_x = \frac{{K_x + L_x + M_x}}{3} = \frac{{-3/2 + -1 + -7/2}}{3} = \frac{{-3 - 2 - 7}}{6} = -\frac{12}{6} = -2
\]

Для y-координат:
\[
P_y = \frac{{K_y + L_y + M_y}}{3} = \frac{{4 + 4 + 2}}{3} = \frac{{10}}{3}
\]
Таким образом, координаты вершины P равны \((-2, 10/3)\).

Теперь, чтобы найти длину медианы, давайте воспользуемся формулой длины отрезка по координатам двух точек.

Длина медианы, соединяющей вершину P с серединой противоположной стороны, будет равна расстоянию между точками P и N.

Подставим значения:
\(P_x = -2\), \(P_y = \frac{10}{3}\), \(N_x = \frac{{K_x + L_x}}{2} = -\frac{3}{2}\), \(N_y = \frac{{K_y + L_y}}{2} = 4\).

Теперь воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками:
\[
d = \sqrt{{(P_x - N_x)^2 + (P_y - N_y)^2}}
\]
\[
d = \sqrt{{(-2 - (-3/2))^2 + \left(\frac{10}{3} - 4\right)^2}}
\]
\[
d = \sqrt{{\left(-\frac{4}{2} + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{10}{3} - \frac{12}{3}\right)^2}}
\]
\[
d = \sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2}}
\]
\[
d = \sqrt{{\frac{1}{4} + \frac{4}{9}}}
\]
\[
d = \sqrt{{\frac{9}{36} + \frac{16}{36}}}
\]
\[
d = \sqrt{{\frac{25}{36}}}
\]
\[
d = \frac{5}{6}
\]

Таким образом, длина медианы треугольника ABC равна \(\frac{5}{6}\).