Каковы ожидаемое число невыпадений единицы и дисперсия, если игральную кость подбрасывают 5 раз?

Yarost

5

Чтобы решить эту задачу, мы используем понятие вероятности и формулы для ожидаемого значения и дисперсии случайной величины.

Для начала, давайте разберемся с двумя понятиями — ожидаемым значением и дисперсией.

Ожидаемое значение — это среднее значение случайной величины, которое мы ожидаем получить при многократном повторении опыта. Для дискретной случайной величины (как в данной задаче) оно вычисляется по формуле:

\[E(X) = \sum x \cdot P(X=x),\]

где \(E(X)\) - ожидаемое значение случайной величины \(X\), \(x\) - возможные значения случайной величины, а \(P(X=x)\) - вероятность получить значение \(x\).

Дисперсия — это мера разброса случайной величины вокруг ее ожидаемого значения. Она вычисляется по формуле:

\[D(X) = \sum (x-E(X))^2 \cdot P(X=x).\]

Теперь, приступим к решению задачи.

У нас есть игральная кость, при подбрасывании которой, вероятность выпадения любой грани равна \(\frac{1}{6}\). Мы должны рассчитать ожидаемое число невыпадений единицы и дисперсию для 5 подбрасываний.

Для начала, найдем ожидаемое значение. Вероятность выпадения единицы при одном подбрасывании равна \(\frac{1}{6}\), значит, ожидаемое значение для одного подбрасывания будет:

\[E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.\]

Так как число подбрасываний равно 5, умножим ожидаемое значение на 5:

\[E(X) = \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{5}{6}.\]

Теперь перейдем к вычислению дисперсии. Нам понадобится значение ожидаемого числа единицы, которое мы уже рассчитали (\(\frac{5}{6}\)). Используем формулу дисперсии:

\[D(X) = \sum (x- E(X))^2 \cdot P(X=x).\]

Подставим значения и произведем вычисления:

\[D(X) = (1- \frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + (0- \frac{5}{6})^2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{25}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{36} + \frac{125}{216} = \frac{61}{216}.\]

Таким образом, ожидаемое число невыпадений единицы при 5 подбрасываниях равно \(\frac{5}{6}\), а дисперсия равна \(\frac{61}{216}\).