Что можно сделать с функцией y=4-2x-7x^2 для изучения ее производной и построения графика?

Polosatik

2

Для изучения производной функции \(y = 4 - 2x - 7x^2\) и построения ее графика, можно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции. Производная функции покажет, как меняется функция со временем и поможет найти экстремумы.

Итак, чтобы найти производную, вначале найдем производную каждого слагаемого функции. Производная константы равна нулю, поэтому производная 4 равна 0. Производная слагаемого -2x равна -2, а производная слагаемого -7x^2 равна -14x. Теперь сложим все производные вместе, чтобы получить окончательную производную функции.

Для данной функции, производная будет \(y" = -2 - 14x\).

2. Теперь, для построения графика функции, определим асимптоты, точки пересечения с осями и экстремумы.

a. Асимптоты: чтобы найти асимптоты, применим правила взятия предела при \(x\) стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.

- Горизонтальная асимптота: при \(x\) стремящемся к бесконечности, производная будет стремиться к нулю, не имея соответствующей горизонтальной асимптоты.

- Вертикальная асимптота: рассмотрим точки, в которых функция неопределена. В данном случае, функция неопределена при \(x = 0\). Таким образом, вертикальная асимптота будет проходить через \(x = 0\).

b. Точки пересечения с осями: для найти точки пересечения с осями, подставим \(y = 0\) и решим уравнение для \(x\).

При \(x = 0\), получим \(y = 4\). Таким образом, функция пересекает ось y в точке (0, 4).

При \(y = 0\), решим уравнение \(0 = 4 - 2x - 7x^2\). Получим два значения \(x\): -0.388 и 0.171 (округленно до трех знаков после запятой). Таким образом, функция пересекает ось x в двух точках: (-0.388, 0) и (0.171, 0).

c. Экстремумы: чтобы найти экстремумы, приравняем производную к нулю и решим уравнение для \(x\).

Приравниваем \(y" = 0\): \(-2 - 14x = 0\). Решая уравнение, получаем \(x = -\frac{1}{7}\) (округленно до трех знаков после запятой). Затем, подставим это значение в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \(y\):

\(y = 4 - 2(-\frac{1}{7}) - 7(-\frac{1}{7})^2\). Решив полученное выражение, получаем \(y = \frac{30}{49}\) (округленно до трех знаков после запятой). Таким образом, функция имеет экстремум в точке \((-0.143, \frac{30}{49})\).

3. Постройте график функции, используя полученные данные.

Нарисуем оси координат, отметим точку пересечения с осями (0, 4), (-0.388, 0) и (0.171, 0), а также экстремум в точке \((-0.143, \frac{30}{49})\). Затем, используя эту информацию, нарисуем параболу функции \(y = 4 - 2x - 7x^2\) с учетом асимптоты \(x = 0\).

В целом, график будет выглядеть как парабола, открытая вниз, проходящая через точку пересечения с осью y (0, 4) и точками пересечения с осью x (-0.388, 0) и (0.171, 0). Есть также вертикальная асимптота при \(x = 0\) и экстремум в точке \((-0.143, \frac{30}{49})\).

\[График функции y = 4 - 2x - 7x^2\]