Каковы периметр и площадь ромба, если угол ∢ MNK равен 60°, длина OK равна 5 м и радиус вписанной окружности составляет

Сладкая_Бабушка

1

Чтобы найти периметр и площадь ромба, сначала нам потребуется найти его стороны. Давайте начнем с найденных значений.

Длина ОК равна 5 м, что означает, что сторона ромба равна 5 м. Теперь давайте найдем длину диагонали ромба.

Для этого нам понадобится радиус вписанной окружности, равный 4,33.

Формула для нахождения диагонали ромба в зависимости от радиуса вписанной окружности: \(d = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot R\), где \(d\) - длина диагонали, \(R\) - радиус вписанной окружности.

Подставим известные значения в формулу:

\(d = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 4,33 \approx 2 \cdot 3,46 \cdot 4,33 \approx 30,07\).

Так как ромб имеет равные стороны и диагонали, то периметр ромба равен сумме всех его сторон: \(P = 4 \cdot a\), где \(P\) - периметр ромба, \(a\) - длина стороны ромба.

Подставим значение стороны в формулу:
\(P = 4 \cdot 5 = 20\).

Таким образом, периметр ромба равен 20 м.

Теперь найдем площадь ромба. Формула для нахождения площади ромба: \(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\), где \(S\) - площадь ромба, \(d_1\) и \(d_2\) - длины его диагоналей.

У нас уже есть значение одной диагонали - \(d = 30,07\). Найдем вторую диагональ, зная, что угол между диагоналями ромба равен 60 градусов.

Для этого воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим вторую диагональ как \(d_2\), тогда у нас есть следующее уравнение:
\(d_2^2 = 5^2 + 30,07^2 - 2 \cdot 5 \cdot 30,07 \cdot \cos{60^\circ}\).

Выразим \(d_2\):
\(d_2 = \sqrt{5^2 + 30,07^2 - 2 \cdot 5 \cdot 30,07 \cdot \cos{60^\circ}} \approx \sqrt{25 + 904,2049 - 753,25} \approx \sqrt{125.2049} \approx 11.19\).

Теперь, подставив значения диагоналей в формулу площади ромба, получим:
\(S = \frac{30,07 \cdot 11.19}{2} \approx \frac{335.7193}{2} \approx 167.86\).

Таким образом, площадь ромба составляет около 167.86 квадратных метров.