Каковы площадь и сторона ромба ABCD, если его диагонали равны 13 см и 9 см, а высота составляет

Золотой_Рай

46

Чтобы найти площадь и сторону ромба ABCD при заданных условиях, воспользуемся тем, что диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. Таким образом, ромб ABCD разделен диагоналями AC и BD на четыре равных треугольника.

Для начала найдем высоту ромба. Высота ромба - это отрезок, опущенный из одного вершины ромба на противоположную сторону и перпендикулярный этой стороне. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и разделяются пополам, мы можем использовать один из треугольников, образованных диагональю и половиной одной из сторон.

Давайте обозначим высоту ромба как \(h\). Из задания нам известно, что диагональ AC равна 13 см, а диагональ BD равна 9 см. Мы также знаем, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Теперь, будучи треугольником, нам нужно найти значение его основания. Назовем это значение \(b\).

Далее мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту ромба. Так как треугольник является прямоугольным (у нас есть прямой угол), мы можем взять половину диагонали AC в качестве катета, половину диагонали BD в качестве катета, а высоту ромба в качестве гипотенузы. Получим следующее:

\[\left(\frac{{13}}{{2}}\right)^2 + \left(\frac{{9}}{{2}}\right)^2 = h^2\]
\[\frac{{169}}{{4}} + \frac{{81}}{{4}} = h^2\]
\[\frac{{169 + 81}}{{4}} = h^2\]
\[\frac{{250}}{{4}} = h^2\]
\[h^2 = 62.5\]
\[h \approx 7.905\] (округляем до трех знаков после запятой)

Теперь у нас есть высота ромба \(h\), что означает, что высота каждого треугольника составляет 7.905 см.

Таким образом, площадь каждого треугольника составляет:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{\text{основание} \times \text{высота}}}{2} = \frac{{b \times 7.905}}{2} = \frac{{7.905 \cdot b}}{2}\]

Так как ромб делится на четыре треугольника и они все равны, площадь всего ромба составляет:

\[S_{\text{ромба}} = 4 \times S_{\text{треугольника}} = 4 \times \frac{{7.905 \cdot b}}{2} = 2 \times 7.905 \times b\]

Теперь нам нужно найти значение основания \(b\). Обратите внимание, что основание треугольника является стороной ромба. Поэтому основание \(b\) будет равно стороне ромба \(d\).

Воспользуемся теоремой Пифагора снова, чтобы найти значение стороны ромба:

\[d^2 = \left(\frac{{13}}{{2}}\right)^2 + \left(\frac{{9}}{{2}}\right)^2\]
\[d^2 = \frac{{169}}{4} + \frac{{81}}{4}\]
\[d^2 = \frac{{250}}{4}\]
\[d^2 = 62.5\]
\[d \approx 7.905\]

Таким образом, сторона ромба \(d \approx 7.905\) см.

Теперь мы можем рассчитать площадь ромба:

\[S_{\text{ромба}} = 2 \times 7.905 \times b\]
\[S_{\text{ромба}} = 2 \times 7.905 \times 7.905\]
\[S_{\text{ромба}} \approx 124.396\]

Ответ: Площадь ромба составляет приблизительно 124.396 квадратных сантиметра, а сторона ромба равна примерно 7.905 сантиметра.