Каковы площади боковой и полной поверхности прямой призмы, у которой основанием является трапеция АВСК, АВ = 7 см
Каковы площади боковой и полной поверхности прямой призмы, у которой основанием является трапеция АВСК, АВ = 7 см, АК = 3 см, а углы А и В равны соответственно 90° и 60°? Также требуется найти высоту.
Таинственный_Маг 48
Для начала, давайте разберемся с площадью боковой поверхности прямой призмы. Боковая поверхность прямой призмы состоит из прямоугольного параллелограмма, стороны которого равны высоте призмы и периметру основания.Для нашей задачи, основание прямой призмы является трапецией АВСК, где АВ = 7 см, АК = 3 см, а углы А и В равны 90° и 60° соответственно.
Для начала найдем периметр основания трапеции. Периметр трапеции можно найти, сложив длины всех сторон.
\[Периметр = АВ + ВС + СК + АК = 7 + ВС + СК + 3 = 10 + ВС + СК\]
Теперь рассмотрим высоту призмы. Высота призмы - это расстояние между основаниями. В данной задаче высоту призмы можно рассчитать, зная стороны трапеции и угол между ними.
Для расчета высоты призмы, используем формулу \(h = AK \cdot \sin(В)\), где h - высота призмы, AK - длина одного из оснований, а В - угол между стороной АК и одной из оснований трапеции.
В нашем случае, AK = 3 см и В = 60°, поэтому:
\[h = 3 \cdot \sin(60°)\]
А теперь вычислим эту высоту:
\[h = 3 \cdot \sin(60°) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 \, \text{см}\]
Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно умножить периметр основания на высоту:
\[Площадь \, боковой \, поверхности = Периметр \, основания \cdot Высота = (10 + ВС + СК) \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\]
Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно прибавить площадь основания. Общая формула для площади полной поверхности:
\[Площадь \, полной \, поверхности = Площадь \, боковой \, поверхности + 2 \cdot Площадь \, основания\]
Так как основание у нас трапеция, то для вычисления площади основания нам потребуется формула для площади трапеции. Формула для площади трапеции:
\[Площадь \, трапеции = \frac{(сумма \, оснований) \cdot высота}{2}\]
В нашем случае, трапеция является основанием прямой призмы, поэтому мы можем найти площадь основания, используя эту формулу.
Подставим известные значения в формулы и решим задачу:
\[Площадь \, боковой \, поверхности = (10 + ВС + СК) \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\]
\[Площадь \, основания = \frac{(АВ + ВС) \cdot AK}{2}\]
\[Площадь \, полной \, поверхности = Площадь \, боковой \, поверхности + 2 \cdot Площадь \, основания\]