Каковы радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей равнобедренного треугольника, если

Zvonkiy_Spasatel

49

Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с построения треугольника. Изобразим его на бумаге с помощью линейки и компаса. Нарисуем основание, которое равно 24 см, и проведем высоту к этому основанию, длиной 9 см. Обозначим основание треугольника как AB, а высоту - CD. Из точки D проведем отрезок DE, перпендикулярный основанию AB.

2. Теперь обратимся к свойству равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, а также высотой. Таким образом, мы можем заключить, что точка E является серединой основания AB.

3. Теперь перейдем к вписанной окружности. В соответствии с свойством вписанной окружности, середины сторон треугольника и точка касания окружности с сторонами образуют прямоугольный треугольник. Из этого следует, что DE является медианой, биссектрисой и высотой треугольника.

4. Можем заключить, что точка E также является центром вписанной окружности, а отрезок DE - радиусом вписанной окружности.

5. Для определения радиуса описанной окружности воспользуемся свойством равнобедренного треугольника, согласно которому высота, проведенная к основанию, делит боковую сторону на две равные части. Таким образом, отрезок EB будет равен радиусу описанной окружности.

Теперь, когда мы знаем радиусы вписанной и описанной окружностей, рассчитаем их значения.

Для начала найдем значение отрезка DE, который является радиусом вписанной окружности. В связи с тем, что треугольник BDE является прямоугольным, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[DE^2 = BD^2 - BE^2\]

Так как точка E является серединой основания AB, отрезок BD равен половине основания треугольника, то есть \(BD = \frac{24}{2} = 12\) см.

Теперь найдем значение отрезка BE, который является радиусом описанной окружности. Из свойства равнобедренного треугольника следует:

\[BE = \sqrt{BD^2 + DE^2}\]

Подставляем значения, получаем:

\[BE = \sqrt{12^2 + DE^2}\]

Теперь найдем значение радиусов вписанной и описанной окружностей.

6. Определим радиус вписанной окружности. Так как отрезок DE является радиусом вписанной окружности, то \(DE = r_1\). Подставляем это значение в уравнение:

\[r_1^2 = 12^2 - r_1^2\]

\[2r_1^2 = 12^2\]

\[r_1^2 = \frac{144}{2}\]

\[r_1 = \sqrt{72}\]

7. Определим радиус описанной окружности. Зная, что \(BE = r_2\), подставляем значения в уравнение:

\[r_2 = \sqrt{12^2 + (\sqrt{72})^2}\]

\[r_2 = \sqrt{144 + 72}\]

\[r_2 = \sqrt{216}\]

\[r_2 = 6\sqrt{6}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности \(r_1\) равен \(\sqrt{72}\), а радиус описанной окружности \(r_2\) равен \(6\sqrt{6}\) см. Полученные значения радиусов соответствуют условиям задачи.