Каковы размеры цилиндра, если высота больше радиуса на 6, а площадь его боковой поверхности равна 144pi?

Сабина

70

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать известные значения и уравнения, связанные с цилиндром.

Пусть \(h\) - высота цилиндра, а \(r\) - его радиус.

Из условия задачи, высота цилиндра \(h\) больше радиуса \(r\) на 6, таким образом, мы можем записать уравнение:
\[h = r + 6\]

Также нам дано, что площадь боковой поверхности цилиндра равна 144π.
Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:
\[S = 2 \pi r h\]

Подставляя в уравнение \(S\) исходные значения, получаем:
\[144\pi = 2 \pi r(r+6)\]

Упрощая это уравнение, будем иметь:
\[72 = r(r+6)\]

Раскроем скобки:
\[72 = r^2 + 6r\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Приведем его к каноническому виду:
\[r^2 + 6r - 72 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[a = 1, b = 6, c = -72\]
\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324\]

Так как дискриминант \(D\) положительный, то у уравнения есть два вещественных корня. Рассчитаем их:
\[r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6\]
\[r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]

Так как радиус не может быть отрицательным в данном контексте, отбрасываем \(r_2 = -12\) и принимаем \(r = 6\).

Теперь, зная значение радиуса, мы можем найти значение высоты. Подставим \(r = 6\) в исходное уравнение для высоты:
\[h = r + 6 = 6 + 6 = 12\]

Итак, размеры данного цилиндра составляют радиус \(r = 6\) и высоту \(h = 12\).