Каковы размеры цилиндра, если высота больше радиуса на 6, а площадь его боковой поверхности равна 144pi?

Сабина

70

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать известные значения и уравнения, связанные с цилиндром.

Пусть $h$ - высота цилиндра, а $r$ - его радиус.

Из условия задачи, высота цилиндра $h$ больше радиуса $r$ на 6, таким образом, мы можем записать уравнение:
$$h=r+6$$

Также нам дано, что площадь боковой поверхности цилиндра равна 144π.
Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле:
$$S=2\pi rh$$

Подставляя в уравнение $S$ исходные значения, получаем:
$$144\pi =2\pi r(r+6)$$

Упрощая это уравнение, будем иметь:
$$72=r(r+6)$$

Раскроем скобки:
$$72=r^2+6r$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Приведем его к каноническому виду:
$$r^2+6r-72=0$$

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:
$$D=b^2-4ac$$
$$a=1,b=6,c=-72$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot (-72)=36+288=324$$

Так как дискриминант $D$ положительный, то у уравнения есть два вещественных корня. Рассчитаем их:
$$r_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6+\sqrt{324}}{2}=\frac{-6+18}{2}=\frac{12}{2}=6$$
$$r_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6-\sqrt{324}}{2}=\frac{-6-18}{2}=\frac{-24}{2}=-12$$

Так как радиус не может быть отрицательным в данном контексте, отбрасываем $r_2=-12$ и принимаем $r=6$.

Теперь, зная значение радиуса, мы можем найти значение высоты. Подставим $r=6$ в исходное уравнение для высоты:
$$h=r+6=6+6=12$$

Итак, размеры данного цилиндра составляют радиус $r=6$ и высоту $h=12$.