Каковы размеры Сириуса (звезды Большого Пса), если его светимость превышает светимость Солнца в 23 раза, а температура

Dobraya_Vedma

4

Для решения задачи о размерах звезды Сириус, можно использовать закон Стефана-Больцмана и закон Винса. Давайте рассмотрим его пошаговое решение.

Шаг 1: Найдем светимость Сириуса, основываясь на том, что он светит ярче Солнца в 23 раза. У нас есть формула для светимости звезды:
\[L = 4\pi R^2 \sigma T^4\]
где \(L\) - светимость звезды, \(R\) - радиус звезды, \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана, \(T\) - температура фотосферы звезды.

Мы знаем, что светимость Сириуса превышает светимость Солнца в 23 раза, поэтому можно записать следующее соотношение:
\[\frac{L_{\text{Сириус}}}{L_{\text{Солнце}}} = 23\]

Используя закон Стефана-Больцмана, мы также знаем, что отношение площадей звезд тоже будет в квадрате:
\[\frac{A_{\text{Сириус}}}{A_{\text{Солнце}}} = \left(\frac{R_{\text{Сириус}}}{R_{\text{Солнце}}}\right)^2\]

Шаг 2: Найдем температуру Солнца. Солнце имеет температуру фотосферы примерно 5778K.

Шаг 3: Подставим известные значения в формулу. Мы знаем, что температура фотосферы Сириуса составляет 11200K. Значение постоянной Стефана-Больцмана составляет \(5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/м}^2\text{К}^4\).

Давайте решим первое соотношение относительно светимостей:
\[\frac{L_{\text{Сириус}}}{L_{\text{Солнце}}} = \frac{4\pi R_{\text{Сириус}}^2 \sigma T_{\text{Сириус}}^4}{4\pi R_{\text{Солнце}}^2 \sigma T_{\text{Солнце}}^4}\]

Теперь, подставим значения Солнца и Сириуса:
\[\frac{L_{\text{Сириус}}}{L_{\text{Солнце}}} = \frac{4\pi R_{\text{Сириус}}^2 \sigma (11200)^4}{4\pi R_{\text{Солнце}}^2 \sigma (5778)^4}\]

Применяя закон Стефана-Больцмана, относительный радиус можно записать как:
\[\left(\frac{R_{\text{Сириус}}}{R_{\text{Солнце}}}\right)^2 = \frac{L_{\text{Сириус}}}{L_{\text{Солнце}}} \times \frac{T_{\text{Солнце}}^4}{T_{\text{Сириус}}^4} = 23 \times \frac{(5778)^4}{(11200)^4}\]

Шаг 4: Решим последнее соотношение и найдем относительный радиус:
\[\left(\frac{R_{\text{Сириус}}}{R_{\text{Солнце}}}\right)^2 = 23 \times \frac{(5778)^4}{(11200)^4}\]

После извлечения квадратного корня получаем:
\[\frac{R_{\text{Сириус}}}{R_{\text{Солнце}}} \approx \sqrt{23 \times \frac{(5778)^4}{(11200)^4}}\]

Шаг 5: Вычислим относительный радиус:
\[\frac{R_{\text{Сириус}}}{R_{\text{Солнце}}} \approx 1.713\]

Шаг 6: Найдем абсолютные размеры Сириуса. Мы знаем, что радиус Солнца составляет примерно 695 700 километров.

\[R_{\text{Сириус}} = 1.713 \times R_{\text{Солнце}} \approx 1.713 \times 695 700 \text{ км}\]

После подсчета получаем:
\[R_{\text{Сириус}} \approx 1 192 800 \text{ км}\]

Таким образом, размер звезды Сириус (Большого Пса) составляет примерно 1 192 800 километров.