Каковы решения системы уравнений (x+4)(y-7)=0 и x-5/x+y-12=3?

Pugayuschiy_Dinozavr_4055

61

Давайте разберемся с этой системой уравнений пошагово.

1. Сначала преобразуем уравнение x-5/x+y-12=3, чтобы избавиться от дроби. Для этого умножим оба выражения на x, получив x(x-5/x) + x(y-12) = 3x.

2. Раскроем скобки и упростим уравнение. Получим x^2 - 5 + xy - 12x = 3x.

3. Сгруппируем похожие члены. Получим x^2 - 12x - 3x + xy = 5.

4. Теперь рассмотрим первое уравнение (x+4)(y-7)=0. Заметим, что произведение двух чисел равно нулю только в двух случаях: когда один из множителей равен нулю или оба множителя равны нулю.

5. Разберем каждый из этих случаев:
- Если (x+4)=0, то x=-4.
- Если (y-7)=0, то y=7.

6. Теперь мы имеем два возможных значения: x=-4 и y=7.

7. Вернемся к уравнению x^2 - 12x - 3x + xy = 5 и подставим найденные значения для x и y:

Подставляем x=-4:
(-4)^2 - 12(-4) - 3(-4) + (-4)y = 5.
16 + 48 + 12 - 4y = 5.
-4y = -71.
y = -71 / -4.
y = 17.75.

Подставляем y=7:
x^2 - 12x - 3x + 7x = 5.
x^2 - 8x = 5.
x^2 - 8x - 5 = 0.

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac. В данном случае a = 1, b = -8, c = -5.

D = (-8)^2 - 4 * 1 * (-5).
= 64 + 20.
= 84.

Так как дискриминант положительный (D > 0), у нас есть два различных решения для x.

Используем формулу x = (-b ± √D) / 2a:

x₁ = (-(-8) + √84) / (2 * 1).
= (8 + √84) / 2.
= (8 + 2√21) / 2.
= 4 + √21.

x₂ = (-(-8) - √84) / (2 * 1).
= (8 - √84) / 2.
= (8 - 2√21) / 2.
= 4 - √21.

Таким образом, мы получили два возможных значения для x: x₁ = 4 + √21 и x₂ = 4 - √21.

Итак, решения системы уравнений (x+4)(y-7)=0 и x-5/x+y-12=3:
- x = -4, y = 7;
- x ≈ 4 + √21, y ≈ 17.75.