Каковы скорость, полное, нормальное и тангенциальное ускорение точки, которая движется по кривой с координатами

Сердце_Океана_5700

25

Для начала решим задачу о положении точки на кривой. У нас даны следующие уравнения:

\(x = a \cos(\varphi)\)
\(y = b \sin(\varphi)\)

С учетом уравнения \(\varphi = \varphi_0 + \omega t + \beta t^2\), запишем:

\(x = a \cos(\varphi_0 + \omega t + \beta t^2)\)
\(y = b \sin(\varphi_0 + \omega t + \beta t^2)\)

Теперь приступим к вычислению скорости точки. Для этого продифференцируем уравнения \(x\) и \(y\) по времени \(t\):

\(\frac{{dx}}{{dt}} = -a \omega \sin(\varphi_0 + \omega t + \beta t^2) + 2 \beta a t \cos(\varphi_0 + \omega t + \beta t^2)\)
\(\frac{{dy}}{{dt}} = b \omega \cos(\varphi_0 + \omega t + \beta t^2) - 2 \beta b t \sin(\varphi_0 + \omega t + \beta t^2)\)

Распишем формулу для нахождения полной скорости \(V\):

\(V = \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2}\)

Подставим значения в эти формулы и получим:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = -4 \cdot 0.7 \sin(1.5 + 0.7 \cdot 2.5 - 0.1 \cdot (2.5)^2) + 2 \cdot (-0.1) \cdot 4 \cdot 2.5 \cos(1.5 + 0.7 \cdot 2.5 - 0.1 \cdot (2.5)^2)\)
\(\frac{{dy}}{{dt}} = 2 \cdot 0.7 \cos(1.5 + 0.7 \cdot 2.5 - 0.1 \cdot (2.5)^2) - 2 \cdot (-0.1) \cdot 2 \cdot 2.5 \sin(1.5 + 0.7 \cdot 2.5 - 0.1 \cdot (2.5)^2)\)
\(V = \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2}\)

Вычислим значения скорости, полного ускорения, нормального ускорения и тангенциального ускорения в заданный момент времени \(t = 2.5\):

\(\text{Скорость} = V\)
\(\text{Полное ускорение} = \frac{{dV}}{{dt}}\)
\(\text{Нормальное ускорение} = \frac{{V^2}}{{R}}\)
\(\text{Тангенциальное ускорение} = \frac{{dV}}{{dt}}\)

где \(R\) - радиус кривизны, определяемый как \(R = \frac{{V^2}}{{\left|\frac{{dV}}{{dt}}\right|}}\).

Произведем необходимые вычисления с подставленными в эти формулы значениями и получим ответ:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = -4 \cdot 0.7 \sin(1.5 + 0.7 \cdot 2.5 - 0.1 \cdot (2.5)^2) + 2 \cdot (-0.1) \cdot 4 \cdot 2.5 \cos(1.5 + 0.7 \cdot 2.5 - 0.1 \cdot (2.5)^2)\)
\(\frac{{dy}}{{dt}} = 2 \cdot 0.7 \cos(1.5 + 0.7 \cdot 2.5 - 0.1 \cdot (2.5)^2) - 2 \cdot (-0.1) \cdot 2 \cdot 2.5 \sin(1.5 + 0.7 \cdot 2.5 - 0.1 \cdot (2.5)^2)\)
\(V = \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2}\)
\(\frac{{dV}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} \left(\sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2}\right)\)
\(R = \frac{{V^2}}{{\left|\frac{{dV}}{{dt}}\right|}}\)
\(\text{Скорость} = V\)
\(\text{Полное ускорение} = \frac{{dV}}{{dt}}\)
\(\text{Нормальное ускорение} = \frac{{V^2}}{{R}}\)
\(\text{Тангенциальное ускорение} = \frac{{dV}}{{dt}}\)

Проведя все необходимые вычисления, получим численные значения для всех величин.